Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
= Sa(ti9 у, s) и оператору
получаем, что коэффициенты fv соответствующего ряда Фурье должны
удовлетворять дифференциальному уравнению
114^ + (2s - a)-§if+ [2ajt(# + v) - 4n2(?/ + v)2ri]fv = 0. (30)
что fv стремятся к нулю при \ц\ -> оо. Например, если у-\-+ v = 0, то fv
должны иметь вид С|г)|1+а-25, где С - константа, при г) =т*^= 0. Впрочем,
это очевидно из соображений однородности. В случае у-\- v Ф 0, пользуясь
элементарными свойствами бесселевых функций, можно также показать, что
(30) определяет fv однозначно с точностью до постоянного множителя. Эту
функцию можно явно выписать через
функции К 1 и ее производные. Мы сделаем это и явно s-a--
вычислим константу С с помощью формул Фурье для коэффициентов fv.
§ 12. Удобно рассмотреть сначала случай а = 0. При а> 0 и Re(s)>a + 72
можно будет затем применить формулу
( ла
Sa (?, У, s) = (s - \) (s - 2)...(5 - a) ~dt? 5 - а) (^0
и получить с ее помощью ряд Фурье для Sa(?, у, s). Наконец, пользуясь
аналитическим продолжением в 5-плоскости, мы установим справедливость
соответствующей формулы
для а 1 < Re (s)< а и продолжим Sa(?, у9 s) аналитически даже в
полуплоскость Re (5) а .
Итак, применим формулы Фурье к вычислению коэффициентов fv для функции
S0(?, у, 5). Разумеется, это то
Кроме того (по-прежнему при
очевидно,
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 12 79
же самое, что суммирование ряда (29) при а = 0 по Пуассону. Получим
So (S, У, s) = ? ф Сп, У + V) е [(у + v)?], (32)
V
где функция ф определена формулой
+ оо
ФСЧ, У)= J lSf2se(- у%) d%. (33)
- оо
Это, по существу, классический интеграл, исследование которого имеет
длинную историю 1). Умножив его на Г(з) и применив преобразование Дирихле
(см. § 2), получим
г(s) ф(ri, у) = ^ехр[-Ki2 + Tl2) - 2niyi\f~x dt dl =
-}- оо
= д/я ^ ехр(- tr\2 --j-) ts~42 dt. (34) о
При у = 0 находим:
ф('П,0) = 1'П|1 2''Уя-(35)
Если у Ф 0, рассматриваемый интеграл немногим отличается от стандартного
определения так называемой функции К (ср. цитированную книгу Ватсона, §
6.22, стр. 183, и библиографию в ней). Его рассматривал еще Пуассон. Для
любого комплексного числа г и Re (У) > 0 положим
"T оо
Кг (27) = У2 J expf-F^ + l)]^-1^. (36)
О
При каждом значении У этот интеграл является четной целой функцией от z.
Из (34) следует, что
ГООфСч, У) = 2 д/it | пу/ц \г Kz (2|яг/т]|) =
= 2 д/я | пу fzY~zKz{'ZY) (37)
[уф 0, z = s --j, Y = \пуц\) .
Теперь можно написать ряд Фурье для функции S0(?,y,s) и, заменив в нем 5
на s - а, воспользоваться формулой (31),
!) Ср. G. N Watson, Theory of Bessel Functions, § 6.16 (pp. 172-173); там
же имеется библиография.
80 Часть II. Кронекер
чтобы вычислить ряд Фурье для Sfl(?, у,5) ПРИ Rе(5)> >я + 72- Выкладки
вполне шаблонные, и мы ограничимся формулировкой результата. Для е = ±1 и
У>0 положим
Ф8 (7, a, г) = е(tm) -jgs [е~2еУу-*Кг (27)]. (38)
Ряд Фурье для Sa имеет вид
Sa (С. У, s)=2(bi)-aT(s)~l Е Cve№/ + v)g], (39)
V
где б= sgnri, а коэффициенты Cv выглядят так. При #+v=0 имеем
с* = п 1а+'~28- <40> В остальных случаях Cv = л/п ( 2) а | п(у
v)|2s а 1Х
ХФе(|я(у +v)T||, a, s- а - (41)
где в = sgn [(г/ + v)rj].
Функция Кг при У-> + 00 допускает хорошо известное асимптотическое
разложение (ср. книгу Ватсона, § 7.23, стр. 202). Однако здесь нам
достаточно знать, что для всех z функция /С(2У) и все ее производные
допускают оценку 0(e~kY) с некоторым А, > 0 (на самом деле с любым К2), а
это нетрудно получить непосредственно. Поэтому та же оценка годится для
Ф8, так что ряд в правой части (39) сходится для всех значений параметров
(со скоростью геометрической прогрессии). Согласно принципу
аналитического продолжения, тождество (39) остается в силе всюду, где
определена его левая часть, т. е. при Re (5) > а 1 . Более того,
формулу (39) можно использовать в качестве определения Sa(?>, У, s) для
всех значений а, ?, у> s, кроме тех случаев, когда у - целое число и
постоянный член (39), определяемый формулой (40), обращается в
бесконечность.
§ 13. Рассмотрим теперь некоторую положительно определенную бинарную
квадратичную форму F(X, У) с вещественными коэффициентами и запишем ее в
виде
F(X, У) = АХ2 + BXY + СУ2 = А (X + ?У) (X + ?У)
Вместо ряда Sfl(?, У, $) мы могли бы изучать построенный с помощью этой
формы ряд
4~*S"(?, y,s) = х (ц+?)а^(ц,1ре(- цг/).
Jbt
VII. Прелюдия к Кронекеру, § 13 81
Разумеется, с точностью до влияния множителя A~s результаты были бы теми
же самыми.
Кронекер, изучая свои двойные ряды, судя по разным признакам, как будто
придавал особое значение тому обстоятельству, что многие факты,
относящиеся к положительно определенным формам F(X, У), переносятся на
случай комплекснозначных форм с положительно определенной вещественной
частью. Объясним вкратце, как это делается. Запишем квадратичную форму в
виде
F (.X, У) = АХ2 + В ХУ + СУ2 = А(Х-\~ ?У) (X + ?'У)
и предположим, что Re[F(X, У)]>0 для всех вещественных X, У, так что ?,
?' заведомо не вещественны. Для всех вещественных i значение F(t, 1)
