Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
решение уравнения (16.110) типа однородного волнового пакета получается
из соотношения
&2т)еео + 6г)т]е -це = 0,
которое, очевидно, интегрируется, давая
&2Цее Ч-Зг)2 - т) + В = 0,
й*]| + 2т)8-~rf + 2Bn - 24 = 0; (16.114)
здесь А и В - постоянные интегрирования. Для этого решения лагранжиан
(16.112) можно сначала выразить через тр
L=4(^~?+
а затем при помощи (16.114) представить в эквивалентной форме L = ft*r,8+
{* + !(?-|-)р}г,-_Ч. (16.115)
Далее получаем усредненный лагранжиан
2л
Согласно (16.113),
2Л
± {г,сЮ=ц = Р; о
согласно (16.114),
2Я
^ /с2т|о d0 = 2^- /с2г)е dr) = kW, о
где1) (16.116)'
W(A, В, U) = -^§{2A-2Br\ + Urf-2rf}l/2dr], U = co/fc.
С) Символ U теперь обозначает нелинейную фазовую скорость (в отличие от |
16.9-16.13, где он использовался для обозначения скорости потока массы).
Тл. 16. Приложения нелинейной теории
544
Наконец,
Х = Ж (А, В, и) + $В+\$у-\щ*-А. (16.117)
2 г 2
.Вариационные уравнения для тройки (у, Р, В) имеют вид
8В
6г|з
совместность
1= -Ж.
у(тР)+1-И-^-в)=0"
1 эу - о at дх
В силу последних двух уравнений, без потери общности можно ¦положить у =
UР - В, так что имеем
Р = - kWB, у = -kUWB -В
ж
imB) + -^(WWB + B)^0. (16.118)
Для тройки (со, /с, А) вариационное уравнение для 66 удобно заменить
уравнением сохранения импульса
4- (*#" + P^v) Р?") = 0.
Имеем
ЬА: kWA - 1, (16.119)
импульс: (kWu)-h-^r(kUWu-А) == 0, (16.120)
совместность: ^A--^-(kU) = 0, u> = MJ. (16.121)
Уравнения (16.118), (16.120) и (16.121) можно рассматривать как три
уравнения для А, В, U с переменной к, заданной уравнением (16.119). Более
симметричная эквивалентная система имеет вид
awB at ¦+u. dWB dx + WA дБ dx =o,
dWjj at - + U awjj dx -WA a a dx = 0, (16.122)
awA at ¦+u- awA dx - WA au dx = 0.
В терминах этих переменных волновое число, частота и среднее значение ц =
Р определяются равенствами
ь_ 1 ---- и Щ MR л9 СП
16.15. Характеристические уравнения
545
Амплитуда а определяется из формул, связывающих нули кубического по W
выражения с коэффициентами А, В, U. В физических задачах в качестве
основных параметров естественно выбрать к, р, а; тройка А, В, U является
эквивалентным набором. Дисперсионное соотношение ю = ю (к, (3, а) неявно
задается вторым из уравнений (16.123).
Уравнения (16.122) имеют разумно симметричный вид, в то время как
исходные вариационные уравнения для (3 и у выглядят неуклюже. Это, по-
видимому, связано с гибридной природой уравнения Кортевега - де Фриза как
приближения к исходной теории волн на воде. При выводе этого приближения
скорость жидкости выражается через глубину (см. (13.102)), так что тройка
у, (3, В перемешивается несимметричным образом. Например, параметр (3
вводится как средняя высота в выражении (16.113), однако в своей
естественной роли он равен средней скорости жидкости. В более
симметричной системе (16.122) такая двойственность сглаживается. Кроме
того, из-за потенциального представления нам сначала пришлось иметь дело
с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось
только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка.
16.15. Характеристические уравнения
Система (16.122) в общем случае является гиперболической, и мы теперь
рассмотрим характеристические уравнения. Функцию W и ее производные WA,
WB, можно выразить через полные эллиптические интегралы и можно
непосредственно вывести уравнения в характеристической форме, но при этом
придется изрядно потрудиться. Удивительно, однако, что если вместо А, В,
U в качестве переменных использовать нули р, д, г кубического уравнения
и если учесть различные (нетривиальные) тождества между вторыми
производными функции W, то уравнения можно представить в простой форме,
для которой характеристические соотношения и скорости очевидны.
Оказывается, что уравнения можно записать как
rf - ±Uif + Br\ - А - 0
(16.124)
(?+*¦)" +Р(? + г)ж = 0,
^ = 2 {(p+q + r) -
Р Wq-WJ + q (WT-Wp) + r (Wp-Wg) Wq-WT
}¦
(16.125)
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
546
плюс аналогичные уравнения для г + р и р + q, получаемые циклической
перестановкой. Таким образом, инварианты Римана равны просто
Я + г, г + р, р + q, (16.126)
а соответствующие характеристические скорости Р, Q, R равны коэффициенту
в (16.125) и соответствующим циклическим перестановкам.
В этом месте полезно выразить интересующие нас величины через
эллиптические интегралы. Введем
а = -Ы-, s2 = -?^-, p>q>r; (16.127)
здесь а - амплитудная переменная, as - модуль эллиптических интегралов.
Тогда можно показать, что
о - г, D (s)
Р -'П -р-2а ,
где D (s), К (s) - полные эллиптические интегралы в стандартных
обозначениях (Янке и Эмде [1]). Если в качестве основных переменных мы
предпочтем использовать {5, a, s, то получим
р = Р+ 2о-?-. ?=Р + 2а(-§-1), г = Р+20(4---L).
(16.128)
Волновое число и фазовая скорость равны соответственно
1 этя1/2
<16Л29)
C7 = -|. = 2(p + ? + r) = 6p + 4e(-^-(16.130)
Инварианты Римана и характеристические скорости оказываются следующими.
