Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
компонентного подхода. Такая последовательность событий указывает на
ценную взаимосвязь двух подходов.
Следует опять отметить, что "неустойчивый случай" указывает на рост
модуляций и необязательно на хаотическое движение. Чтобы оценить
окончательное поведение, следует включить дисперсионные члены высшего
порядка, как было описано в § 15.5. Из проведенного там анализа мы
заключаем, что следующей стадией будет развитие модуляций, для которых
огибающей волнового пакета явится последовательность уединенных волн.
16.12. Волны Стокса на отмели
Для волнового пакета, приближающегося к отмели, параметры модуляций можно
считать не зависящими от t. Тогда из уравнений модуляций имеем четыре
соотношения
о" = const, - ?h = const, у = const, - = const,
определяющие к (ж), Е (х), Р (х), h (х) через их начальные постоянные
значения на глубине и распределение глубин h0 (х). В низ-
х) См. также следующие статьи: Захаров В. Е., Об устойчивости волн в
нелинейных средах с дисперсией, ЖЭТФ, 51 (1966), вып. 10: Об устойчивости
волн на поверхности тяжелой жидкости, ПМТФ (1968), № 2.- Прим. ред.
16.13. Волны Стокса на поверхности потока
541
шем порядке приближения первые два соотношения имеют вид
Этих соотношений достаточно для определения распределений к (х) и Е (х) в
терминах распределения глубин h0 (х). Поскольку частота <о0 постоянна,
соотношение для Е можно также интерпретировать как постоянство потока
энергии ЕС0, но, по-видимому, для таких "адиабатических" процессов
предпочтительнее формулировка в терминах волнового действия. Соотношения
у = const, -Х$ = = const определяют сопутствующие малые изменения
параметров h - h0 ш Р- Результаты таковы:
(При вычислении параметра у использована незначительная модификация,
отмеченная в (16.74).) Эти формулы указывают на некоторое понижение
средней поверхности и на встречное течение, компенсирующее индуцируемый
волнами поток массы.
На шельфе амплитуда возрастает с уменьшением глубины. При достаточно
больших амплитудах, которые можно оценить либо как а/Х = 0,142, согласно
вычислениям Мичелла для глубокой воды, либо как a/h0 = 0,78, согласно
оценкам Мак-Кауэна для уединенной волны, гребни заостряются и теория
Стокса перестает быть применимой.
16.13. Волны Стокса на поверхности потока
Подобные рассуждения применимы к волнам, распространяющимся вдоль
неоднородного потока, имеющего скорость U0 (х), что можно считать
следствием изменения глубины h0 (х) или подтока жидкости снизу. В этом
случае имеем равенство
to=kU0 (х)-|-<м0 (к) = kU0 (ж) + {gk th kh0 (ж)} 1/2=const (16.107) для
определения к (ж) и равенство
о - (о0 = {gk th kh0)112 = const, - Хь = - С0 = const.
ГЛл U
(16.105)
b = h-h0 =
pt-O^o
1 / 2C0 . \ E
(16.106)
-Xh = --{Uo (x) + CQ (ж)} = const (16.108)
для определения амплитуды. В случае глубокой воды
*¦=($ )шс,=±с
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
542
и результаты можно представить в виде
kU0 + (gk)1/2 = const,
(16.109) Ес0 (2С/о + с0) = const.
Эти выражения впервые были получены Лонге-Хиггинсом и Стюартом [2] пссле
подробного непосредственного анализа уравнений движения. Для волн,
движущихся навстречу потоку, формулы дают особенность, предсказывающую,
что Еоо, когда величина групповой скорости приближается к скорости
потока. На этой стадии следующие члены порядка Ь2 становятся решающими и
определяют конечный результат. Этот вопрос был изучен Креп-пером [1] и
Холлидеем [1].
Уравнение Кортевега - де Фриза
Завершая эту главу, построим теорию модуляций для уравнений Кортевега -
де Фриза. Этот вывод имеет ряд специфических черт, и для получения точных
соотношений на характеристиках необходимы нетривиальные приемы. По-
видимому, их стоит здесь описать, учитывая центральное положение данного
уравнения в изучаемом предмете и возможные связи с дальнейшим анализом
его точного решения.
16.14. Вариационная формулировка
Удобно выбрать такую нормировку, в которой уравнение принимает вид
Vt + 6т]Т]ж + rjxxx = 0. (16.110)
Для этого уравнения в его настоящем виде вариационный принцип отсутствует
й необходимо ввести какое-либо потенциальное представление. Простейший
способ - положить т] = ц:х\ тогда уравнение переходит в следующее:
ф*4 + бфяф** + фжжжж = 0 (16.111)
и соответствующий лагранжиан таков:
L=~y Ф<ФЖ -ф| + -|-ф1ж. (16.112)
Можно было бы в уравнение (16.111) ввести % = (р**, работать с двумя
функциями ф и % и использовать лагранжиан, содержащий только первые
производные. Этот способ обладает тем преимуществом, что к нему применима
общая Теория § 14.7, но проще иметь дело с лагранжианом (16.112),
пользуясь некоторыми специальными приемами.
16.14. Вариационная формулировка
543
Необходимость в потенциальном представлении характерна для структуры
данной задачи и затрагивает ряд параметров однородного волнового пакета.
Мы должны положить
ф = Ф + Ф (6)5 Ф ^ $х - yt, 0 = кх - соt.
Тогда
г) = Р + &Фе (16.113)
и параметр р отвечает среднему значению переменной т). В терминах т)
