Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 190

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 215 >> Следующая

(2щ)1/2,
(16.134)
(16.135)
Q,*~ op
(16.136)
Заметим, что
р ~ 2кг (2gj) V*
(16.137)
и
ки + (2а1к1)х = 0,
ait ^aiaix - 0.
(16.138)
fji. 16. Приложения нелинейной теории
550
предварительного изучения общего случая. Это, несомненно, так. Уравнение
Кортевега - де Фриза можно записать в форме уравнения сохранения
% + (Зт)2 + = 0, (16.139)
и, усреднив его, получить
(4)i + (3?b = 0. (16.140)
Далее, уединенная волна сд = г = 0ир = аг дается выражением r] = a1sech2
j (¦у")1/2 х-4 ("у")372 t} • (16.141)
Если, используя это решение, вычислить средние значения
т) = j т) dx, т)2 == fci j rf dx,
то будем иметь
Уравнение (16.140) принимает вид
(кф\'% + (2М?/2)* = 0. (16.142)
В силу (16.141), фазовая скорость U = 2аг; следовательно, уравнение
совместности klt + {кг U)x = 0 записывается как
klt + (2а1к1)х = 0. (16.148)
Система уравнений, полученная для к± и %, эквивалентна системе
(16.138). Заметим, что в зтом выводе неявно предполагалось, что д и г при
модуляциях остаются равными нулю.
Эти уравнения имеют важное частное решение
a'=~W' (16444)
где / - произвольная функция. Такой результат легко интерпретировать.
Уединенная волна с амплитудой аг движется со скоростью 2%. Следовательно,
равенства (16.144) описывают последовательность уединенных волн,
сохраняющих постоянные амплитуды и движущихся по траектории х =2att.
Убывание волнового числа кх связано с тем, что уединенные волны, имеющие
различные амплитуды, разбегаются. Решение изображено на рис. 17.1 (см.
стр. 572), где оно получено при обсуждении точных решений. Однако там оно
завершается разрывами у аг и кг. Рассмотрим поэтому, как выглядят для
наших уравнений условия на разрыве.
* Снова возникает обычный вопрос: какие уравнения сохранения должны
оставаться справедливыми при переходе через разрыв?
16.16. Последовательность уединенных волн
551
Если принять систему (16.142)-(16.143), то условия на разрыве имеют вид
-V [kia[/2] + [2k1a\l2] = О, -V [кг\ + [2ajkj] = О,
где V - скорость разрыва. Скачкообразный переход от аг = О до некоторого
ненулевого значения а[и) будет, следовательно, распространяться со
скоростью V = 2а'0>. Это - фазовая скорость, и полученный результат
указывает на то, что решение (16.144) может быть оборвано на любой из
последовательных уединенных волн.
Именно такой выбор подтверждается точным решением, которое будет
приведено в § 17.5. Функцию / и амплитуду п'0) можно определить только из
начальных условий, также приведенных в § 17.5. Конечно, в случае
уравнения Кортевега - де Фриза точный анализ дает более сильные
результаты, чем теория модуляций уединенных волн. Но подтверждение
результатов в этом случае оправдывает аналогичное использование теории
модуляций в задачах, где точные решения неизвестны.
Наконец, можно отметить, что если уединенную волну записать в виде
T] = a1sech2(^-)1/2(a:_^.i)
и использовать это выражение для вычисления усредненного лагранжиана
X - кл | L dx,
то найдем
V "3/2 6 ъ rfi!2
о?/ C/DJCDjAj - K^CL^ Ш
Вариационные уравнения имеют вид бй! 0)j =
66: (fl13/2)(+(-|ei5/Z)JC = 0, совместность: кц - [- tola. =
0.
Эти уравнения эквивалентны системе (16.142)-(16.143).
Глава 17
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ; ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ
1/.1. Канонические уравнения
Одним из наиболее замечательных достижений в недавних исследованиях по
нелинейным диспергирующим волнам является открытие многих точных решений
для некоторых простых канонических уравнений теории. Это касается в
основном следующих уравнений.
1. Уравнение Кортевега - де Фриза, нормированное теперь к виду
1Ь + отр)* + t]xxx = 0, (17.1)
где а - некоторая постоянная.
2. Кубическое уравнение Шредингера
iut + ихх + v\u\2u = 0. (17.2)
3. Уравнение Sin-Гордона
ф и - ф хх + sin<p = 0. (17.3)
Можно построить явные решения, описывающие взаимодействие
произвольного числа уединенных волн, и предсказать точное количество
уединенных волн, которые в конце концов образуются из любого финитного
начального возмущения.
Эти уравнения являются каноническими для рассматриваемой теории в том
смысле, что они объединяют некоторые простейшие типы дисперсии с
простейшими типами нелинейности. Уравнение Кортевега - де Фриза
объединяет линейную дисперсию
со = - х3 (17.4)
с типичным нелинейным оператором переноса. Уравнение (17.2) объединяет
дисперсию
со = х2 (17.5)
с простой кубической нелинейностью. В обоих случаях дисперсионное
соотношение можно рассматривать как начало разложения в ряд Тейлора более
общего дисперсионного соотношения, причем (17.4) относится к нечетному по
х случаю, а (17.5)- к четному. (Если в (17.4) или в (17.5) добавлен член,
пропорциональный х.
17.1. Канонические уравнения
553
то его можно исключить переходом к движущейся системе отсчета.) По этой
причине это не просто модельные уравнения, а уравнения, которые часто
можно рассматривать как длинноволновые приближения. Линейное
дисперсионное соотношение ш2 = и2 + 1 в (17.3) также имеет довольно общий
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed