Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия; там, где ft и /2 обе малы или велики, имеем ст] са 0.
Теперь ясно поведение взаимодействующих уединенных волн, описываемых
равенством (17.21). Положим для определенности "2 > аь > 0 и заметим,
что, согласно (17.23), уединенная волна а2 больше и движется быстрее, чем
уединенная волна ах. При t -"-
17.3. Обратная задача рассеяния
559
-*¦ - оо область взаимодействия, в которой 1, f2 - 1, отсутствует и
выражение (17.21) описывает
уединенную волну at на х = st + a2 t, /4 ~ 1, /2 <С 1.
1 1 / "2 + "1 \2 . 2л
уединенную волну а2 на х = s2-in I 1--) + at,
0^2 ' /
/i > 1, /a^l;
в остальных точках at] ~ 0 (и /х и /2 либо велики, либо малы).
Это отвечает большей уединенной волне а2, перегоняющей меньшую уединенную
волну а!. Когда t-*¦ -f- со, имеем
1, / Ю2 + "1 \2 i 2 л
уединенную волну а, на х = ---In I --------) + к, /,
OCj, \ CCg - Ctj /
Д~1, /2"1, уединенную волну а2 на х = s2 + сф, /4 1, /2~
1;
в остальных точках от] ~ 0.
Замечательный результат состоит в том, что уединенные волны выходят из
области взаимодействия без изменения формы с первоначальными параметрами
а3 и а2, более быстрая уединенная волна а2 теперь находится впереди.
Единственным напоминанием о процессе соударения является сдвиг вперед на
- In ( a2^~Kl) у уединенной волны а2
0&2 \ СС2 - Щ I
и сдвиг назад на
- In ( a2+\2 у уединенной волны at.
Ю1 ' -а1 '
Взаимодействие происходит в окрестности точки
f = -
a jsi-afs2
а$-afw of
В этой области Д ~ 1, /2 ~ 1, и (17.21) описывает, как две волны
сливаются, а затем расходятся, поменявшись местами.
Аналогичные результаты можно вывести из выражений (17.19)- (17.20) для
случая N уединенных волн. В конечной стадии при t ->¦ оо существует N
уединенных волн, амплитуда и скорости которых возрастают при приближении
к фронту и которые удаляются друг от друга по мере увеличения t.
17.3. Обратная задача рассеяния
Для согласования с оригинальными работами при изложении теории мы
временно положим
и=-±хк (17.25)
Гл. 17. Точные решения
560
тогда уравнение примет вид
Uf бнНд. | Uxxx
(17.26)
По аналогии с уравнением Бюргерса популярным первым шагом при построении
решений является подстановка
но одна она далеко не уведет. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1]
продвинулись дальше, положив
и заметив, что это равенство можно записать как приведенное уравнение
Шредингера
Предположительно в этот момент акценты сместились и (17.27) стали
рассматривать не как преобразование, упрощающее уравнение для я]), а
скорее как ассоциированную задачу рассеяния, при помощи которой
информацию о ф можно использовать для предсказания свойств функции и. С
этой точки зрения волновой профиль и (х, t) представляет собой
рассеивающий потенциал. Время t фигурирует как параметр; для каждого
значения t существует своя задача рассеяния. Этот временной параметр
совершенно отличен от времени т, которое можно было бы восстановить в
приведенном волновом уравнении (17.27) подстановкой tp (х, т, t) - ф (.г,
t) X X ехр (Д/Хт), получив
В дальнейшем мы вернемся к уравнению (17.28), а пока примем приведенный
вариант (17.27).
Для использования равенства (17.27) необходимо при помощи
(17.26) найти уравнение для ф. Поскольку значения параметра X должны
принадлежать спектру задачи рассеяния (17.27), а задача меняется с
изменением t, первоначально следует считать X функцией от t. Подставив
(17.27) в (17.26), после ряда хитроумных преобразований находим, что
уравнение можно записать в виде
Фага: + (X - и) ф = 0.
(17.27)
фагэе фтх ^ (^i О ф
(17.28)
(17.29)
(17.80)
Q = Ф/ + Фахса: - 3 (U + X) ф*.
Ограничимся теперь рассмотрением решений уравнения (17.26), которые при |
х | -оо достаточно быстро стремятся к нулю. При этих условиях спектр
задачи (17.27) дискретен при X <Г 0
17.3. Обратная задача рассеяния
561
и непрерывен при X > 0. Для дискретных собственных значений Хп = - у.2
соответствующие собственные функции фп удовлетворяют соотношениям
|ф"|-"-0, | J51 ->-0
0<j ф2<2.г<;оо.
Следовательно, интегрируя (17.29) от -оо до оо, устанавливаем, что Хп не
зависит от I. Для непрерывного спектра будем считать X > 0 не зависящим
от i и рассмотрим поведение ф при изменении t. В любом случае из (17.29)
с dX/dt = 0 находим, что
Q == ф4 + фжз:ж - 3 (и + X) фж = Сф, (17.31)
где С не зависит от х. Мы теперь знаем, что эволюция любого решения ф
уравнения (17.27) при фиксированном параметре X описывается уравнением
(17.31). При исследовании задачи на собственные значения (17.27) удобно
положить X = р2 и работать с функцией у, удовлетворяющей уравнению
(17.27) и условию
Imp^O при ж->-{-оо. (17.32)
Для того чтобы эта функция, введенная, скажем, для t = 0, сохраняла одну
и ту же нормировку (17.32) для всех t, потребуем, чтобы выражение (17.32)
было асимптотическим решением уравнения (17.31) для всех t. Это отвечает
выбору С = -4г'р8, и наша система уравнений принимает вид
Фз^ + О^2 - и)ф = 0,| (17.33)
Ф* + tyxxx - 3 {и + р2) фх + 4гр3ф = 0. (17.34)
