Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фигурируют только его производные, наиболее общая форма периодического
волнового пакета такова:
Ф = Рж - yt + Ф(0, у), 0 = кх- (ot, т] = Ат (б); (16.68)
здесь Ф (0, у) и N (0) - периодические функции от 0. Параметр Р - средняя
горизонтальная скорость срх, а величина у связана со средней высотой
волн. В однородном случае можно выбрать систему отсчета, в которой р = 0
и средняя высота равна нулю,, что делалось и ранее (см. (13.120) и
(13.121)). Заметим, что у ф 0 даж$ при таком выборе.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
532
В теории модуляций изменения средней скорости и средней высоты связаны с
изменениями амплитуды. Вследствие этого Р, у и соответствующий параметр
для средней высоты следует оставить свободными. Нелинейная связь
амплитудных модуляций со средней скоростью и высотой является важным
физическим эффектом и допускает естественное математическое описание. Это
первый пример ситуации, введенной формулами (14.62) и обсуждавшейся в §
14.7.
В низшем порядке модуляционного приближения усредненный лагранжиан
находится подстановкой периодического решения (16.68) в выражение
(13.17). Для начала мы рассмотрим случай, когда дно горизонтально, и
выберем начало отсчета у = 0 у дна, так что h0 = 0. Имеем
2Я
x==i \LdQ' (16.69)
о
где
JV(6)
L= ( р {у + соФе -|-(Р + М>е)2 - - gy} dV =
О
N
= Р ( 7 - у Р2 ) N - у PgN2 + (ю - р/с) р j Фе dy -
О
N
_р j (±А?ф§+4-ф1)ау. (16.70)
о
Поскольку точные выражения для Ф (0, у) и N (0) неизвестны, для
дальнейшего исследования необходимо принять либо почти линейные
разложения Стокса, либо длинноволновую теорию Буссинеска и Кортевега - де
Фриза. Мы воспользуемся анализом Стокса. Периодические функции Ф (0, у) и
N (0)представляются в виде рядов Фурье
Ф (0, у) = 2 пку sin (16.71)
1
N (в) = h-\-a cos 0 + 2 cos н0. (16.72)
2
Основными параметрами в конце концов будут триады (со, к, а) и (у, р, К);
здесь а - амплитудный параметр, a h - средняя высота поверхности воды.
Можно заранее предположить, что коэффициенты ап и Ап для малых амплитуд
будут иметь порядок О (ап). Подставляя разложения (16.71) и (16.72) в
(16.69) и (16.70), получа-
16.6. Усредненный вариационный принцип
533
ем выражение для X в любом желаемом порядке по а. Основной интерес
представляют первые нелинейные члены X, которые имеют порядок а4, так что
удобно вычислить X до членов этого порядка включительно. В
соответствующее выражение кроме двух основных триад войдут коэффициенты
А1г А2 и аг, но их можно исключить, решив вариационные уравнения
= Ха2 = о, ха1 = о
относительно Alt А2, аг и подставив результаты в X. Эти выкладки
утомительны, но неизбежны, какой бы подход не использовался. В целом
получить соотношения для А1г А2 и аг при помощи вариационного принципа
несколько проще, чем непосредственно из уравнений, как в § 13.13. Этот
способ обладает и тем преимуществом, что X определяется раз и навсегда, а
все остальные величины, такие, как масса, импульс и поток энергии, просто
выводятся из него без повторения аналогичных алгебраических выкладок.
Окончательное выражение для X имеет вид
Ж=р(Т-4-Р)''-7Р"''!+|?{^ШГ-1}-
}+0(Ё*), (16.73,
где
E = ~pga2, T^thkh.
Ниже будет показано, что Е - плотность энергии для линейных волн,
распространяющихся по спокойной воде. Эту величину удобно использовать в
качестве амплитудного параметра (вместо а).
В общем случае изменения средних значений (у, Р, h) связаны с волновым
движением, и будет видно, что зти изменения имеют порядок О (а?).
Следовательно, в члене с а4 корректно заменить h на невозмущенную глубину
h0, а Т - на
Т0 = th kh0.
В членах низших порядков важно, однако, сохранить h. В первоначальном
выводе выражения для X (Уизем [11]) предполагалось, что у и р имеют
порядок О (а2), поскольку изучался случай распространения волн по
спокойной воде. Но выражение (16.73) в действительности верно и без
такого ограничения. Это расширение позволяет изучать, например, волны на
потоках, где изменения параметра р, обусловленные волнами, имеют порядок
О (а2), но сам параметр р включает ненулевое невозмущенное значение
скорости потока.
Принятая выше форма лагранжиана X зависит от выбора нулевого уровня
потенциальной энергии. При выводе выражения (16.73) из (13.17) нулевой
уровень принимался у дна, которое счи-
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
534
талось горизонтальным. В более общем случае положим, что на средней
поверхности воды у = Ь, а у дна у = - h0; тогда в выражении (16.73) член
V2 рgh? заменяется на
уР^2-уР^о. (16.74)
а прочие члены остаются прежними, но h заменяется на h0 + b. Эту
модификацию следует использовать в том случае, когда дно не является
горизонтальным и, следовательно, больше не может служить уровнем отсчета
потенциальной энергии. Мы будем считать дно горизонтальным и использовать
выражение (16.73), если явно не оговорено противное.
16.7. Уравнения модуляций
Для модулированного волнового пакета член fix - yt в (16.68) следует
