Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
считать, что волны распространяются в х-направлении, а поля имеют
компоненты Е и В в z- и (/-направлениях соответственно. Электроны
смещаются в z-направлении, и мы будем описывать это смещение функцией г
(х, t). Уравнения Максвелла сводятся к следующему виду:
Bt-Ex = О,
Et + ^-rt = clBx, ь0
(16.1)
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
514
где q - заряд электрона, N -¦ число электронов на единицу объема, с0 -
скорость света в вакууме и е0 - диэлектрическая проницаемость свободного
пространства. Для того чтобы эта система была полной, необходимо
соотношение между г и Е. Мы предположим, что действие поля Е на электрон
можно представить в виде потенциальной ямы, так что развивается
нелинейная возвращающая сила. В соответствии с этим искомое соотношение
таково:
тги -т- U' (г) = qE. (16.2)
Если ввести поляризацию Р = Nqr и исключить из уравнений Максвелла
компоненту В, то получится
EttJr~Z~Ptt==ca^xxi (16.3)
Ео
Ptt + V' (P) = wlE, (16.4)
где
= (16.5)
причем vp - плазменная частота.
Каждый осциллятор подвергается также суммарному воздействию всех
остальных осцилляторов. В элементарном описании это учитывается заменой
поля Е в правой части уравнений (16.2) и (16.4) на Е + Р/(Зе0), что равно
полю внутри сферической полости, окруженной диэлектриком с поляризацией
Р. Для наших целей можно считать, что дополнительный член включен в V'
(Р).
Анализ существенно упрощается, если потенциальная яма симметрична и V'
(Р) - нечетная функция от Р. По большей части мы будем считать, что это
выполняется, а там, где будет уместно, укажем, что будет происходить в
более общем случае.
Однородные волновые пакеты
Для однородного волнового пакета Е = Е (6), Р = Р (6), 6 = кх -¦ сой
Интегрирование уравнения (16.3) при э^ом дает
(со2 - с2/с2)е0 Е = -со2Р + const. (16.6)
Если V' (Р) - нечетная функция от Р, то без потери общности постоянную
интегрирования можно положить равной нулю.-В других случаях, однако, эта
постоянная может потребоваться и будет играть важную роль. Например, если
в V' (Р) входит член с Р2, то из (16.4) видно, что средние значения
компонент Е и Р отличаются на член, квадратичный по амплитуде;
следовательно, в (16.6) требуется постоянная, пропорциональная квадрату
амплитуды. Однако если V' (Р) - нечетная функция, то замечаем, что можно
положить средние значения компонент Е и Р равными нулю, и при таком
выборе постоянная в (16.6) должна быть нуле-
16Л. Основные идеи
515
вой. Тогда имеем
е°Е= ~ иР - с*к2 Р' (16-7)
(,,2у2
^ее + У'(^) + 1^ф-^ = 0. (16.8)
В линейном случае У' (Р) = v2P, решение уравнения (16.8) синусоидально по
6 и мы получаем дисперсионное соотношение
n^c$ifi= t (169)
0 со2 ю2-vg 4 7
В полосе поглощения около резонансной частоты v0 становится важным
демпфирование, которое исключает сингулярное поведение в этой области.
Однако вдали от резонансной частоты этот эффект мал, и при первом
рассмотрении им можно пренебречь.
В почти линейном случае можно положить^
У' (P) = v20P - aP3+...,
P = &?cos0 4-&3cos30-)- . . ., (16.10)
Е = a cos 0 -j- а3 cos 30 + ... и вывести дисперсионное соотношение
2 cgfc2 ,, Vp . 3 "воЧ
П2 -- , = li г 2'+Ч"Т_5 iua + • 1(16.11)
"2 F., : "о ~vo 4 (" -'Vo) *
В полностью нелинейном случае уравнение (16.8) имеет осциллирующие
решения, как показано для уравнения Клейна -Гордона (см. (14.3)); тесная
связь между этими двумя случаями становится очевидной.
Усредненный лагранжиан
Вариационный принцип можно сформулировать в терминах потенциала ф, т. е.
z-компоненты векторного потенциала. Компоненты поля даются равенствами Е
= - фь В = - фж, и соответствующий лагранжиан имеет вид
L -- у е° (ф,2 -с2ф|) -Nqtytr + N { у mr\ - U (г)} =
= Тео(Ф?-е0#ф?)-ф^ + -^{-| Р"2-У(Р)}. (16.12)
Если У' (Р) - нечетная функция от Р, то для однородного
волнового пакета достаточно считать ф и Р периодическими функциями
от 0. Тогда, согласно (16.7) и (16.8), имеем
Е = (c)фе = , (16.13)
^PS+V(P) + ^-n-^P' = A, (16.14)
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
516
где второе уравнение было проинтегрировано и при этом в него вошла
постоянная интегрирования А как амплитудный параметр. Усредненный
лагранжиан затем получается подстановкой равенств
(16.13)-(16.14) в (16.12) и последующими стандартными выкладками.
Результат имеет вид
ж <"¦ *¦ = § {2A~2V
(16.15)
Опять можно отметить сходство со случаем уравнения Клейна - Гордона
(14.26).
Если функция V' (Р) не является нечетной, то потребуется более общее
выражение
ф = рг - у* + Т(6). (16.16)
Параметры |3 и у дают ненулевые средние значения для В и Е, и их следует
рассматривать как псевдоволновое число и псевдочастоту, как было
объяснено в § 14.7. В уравнение (16.6) теперь следует ввести вторую
постоянную интегрирования, скажем А, и тройка (у, р, А) аналогична
основной тройке (со, к, А). В теории модуляций связь изменений тройки
(со, к, А) с изменениями средних полевых параметров (у, |3, А) приводит к
чрезвычайно важному эффекту. Мы не будем выяснять здесь детали; они
