Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
большее число пространственных измерений). Подставляя разложение
ф = - sin 0 ф- sin 30 + ...,
т оз Зоз 1
эквивалентное (16.10), видим, что в усредненном лагранжиане (16.17)
появляется дополнительный член
1 е0с0 "2
4 -V
Исключение параметра b с помощью (16.18) не затрагивает этого члена;
следовательно, он добавляется и к (16.19). Наконец, обобщив выражение
(16.19), как и выше, имеем
Х = Т { "• ^ ~ } "оо2 + 4Г по И "2 И еьв4 - \ -^г- а%..
(16.50)
Вариационные уравнения теперь имеют вид
6а: j(til ~^г) а + ах.х. = 0 (16.51)
60: (к#2) = 0, (16.52)
OXi
а уравнение совместности - вид дк; дкj
= (16-53)
Дополнительный член в (16.51) носит дисперсионный характер и
противодействует фокусировке. Для того чтобы пучок начал фокусироваться,
нелинейный член п0п2а? должен доминировать над дисперсионным членом
с%ах.х./<х>2. Если начальный радиус пуч-
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
526
ка равен г0, то это дает оценку
/ <16-54>
для требуемой критической интенсивности. По мере того как пучок
фокусируется, возрастает (за счет сокращения поперечного масштаба)
влияние члена ах.х. и появление особенности предотвращается. В общем
случае можно ожидать, чтЬ ширина пучка будет осциллировать в соответствии
с осциллирующим влиянием нелинейности и дисперсии. /•'' 11 :
В качестве частного случая следует ожидать, что имеется решение,
представляющее однородный пучок, все Параметры которого не зависят от
расстояния вдоль оси. Для плоского или осесимметричного пучка уравнения
имеют вид 1 1;
к2 = 0, kl = k - const,
( агг + -у- Or ) -f- ( Пд --^)а + ЛоМ3 = 0.
Обозначим через а*' амплитуду, для которой1 ;|; - :
- по + ЩЩа*2', (16.55)
тогда
• йтт + ат = 2yK2h(а*2-'a%f\ ,!>!' * м? (16.56)
где, как и ранее, у'^= п2/(2п0), К2 = хл'1п^1с2(У В плоском случае пь = 0
и уравнения интегрируются, давая.
1 ау = уК2а? (йц - а2), 1 * (16.57)
где а0 = a*Y 2 - максимальная амплитуда (а* - амплитуда в точке перегиба
профиля). Соответствующее рё1йеййё! 'Ймеет вид
. а = ав sech (у1/%КЬ0у). (16.58)
Это аналог уединенной волны нестационарной теории. Если в равенство
(16.57) ввести постоянную ицтегрйровцция, то можно получить осциллирующие
периодические по // решения. Они аналогичны кноидальным волнам. .
.....
Для осесимметричного пучка с тп = 1 решения уравнения
(16.56) были получены численно Кьяо, Гармайром и Таунсом[1], а также
Хаусом [1]. Первые вычислили решение, соответствующее решению (16.58), и
оказалось, что оно монотонно убывает от а0 при г = 0 до пуля при г->- оо.
Хаус йашёл оёцилШруйяцие решения с постепенйЬ затухающей амЬлитудой,
опйёывающие пучок, окруженный дифракционными кольцами/ Смолл : Ш:
Заметил, что уравнение1 (16.56) в безразмерной 'форме" с' 'а'= а/а* и
16.4. Дисперсионные эффекты
527
г = гКа* (2у)1/2 ассоциируется с вариационным принципом
6 ^ г (af-f а2 g"a4) dr~0,
о
и, используя метод Рэлея - Ритца, показал, что
а = 0,8488 ехр (-0,2495?) + 1,3156 ехр (-1,1810г2)
является хорошим приближением к решению Кьяо, Гармайра и Таунса. В этих
безразмерных переменных требуемая интенсивность равна
Р= ( a2r dr ~ 1,86.
о
Узкие пучки
В приближении узких пучков уравнения (16.51) - (16.52) преобразуются при
тех fee предположениях, что привели к (16.39) - (16.40). Теперь имеется
дополнительный член со второй производной, включенный в (16.39), так что
имеем
К2 (2$х + s2) а = К2а3 + ( аТт + ат) , (16.59)
ltr + Sr 'S"+(Srr + '7LSr) а2 = 0- (16-60)
Положим
W = aeiKs;
тогда эти два уравнения объединяются в одно
2iK^- + V2±W 1*^ = 0, (16.61)
где
V2 = 92 1 m д 1 дг2 ' г дг
Это нелинейное уравнение Шредингера, встречающееся в ряде различных
задач, имеет некую каноническую структуру в том же смысле, что и
уравнение Кортевега - де Фриза. Удивительно, что-для плоских пучков (т =
0) можно получить широкий класс точных решений, используя метод, развитый
Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [1] для уравнения Кортевега - де
Фриза. Это было указано Захаровым и Шабатом [1], которые пошли дальше и
дали исчерпывающий анализ этого уравнения. Результаты будут изложены в
гл. 17.
К настоящему моменту было сделано столько различных приближений, что
проще вывести уравнение (16.61) непосредственно
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
528
из уравнений Максвелла, предположив, что Р и Е связаны некоторой
нелинейной зависимостью. Для плоского пучка имеем
Ей + Ptt = Со (Ехх + EyV)
fc0
и, добавив соотношение
Р = (rajj - 1) е0Е -|- п0ще0а2Е, получим (с достаточной точностью)
n20Ett + щп2а2Ец = c'l (Ехх + Ет/).
Тогда если
? = (i, у) eiKx~iat +-j Т* (ж, у) e-iKx+iat^
то
-
Пренебрегая Тжх, получаем (16.61).
16.5. Генерация второй гармоники
Одним из наиболее впечатляющих экспериментов нелинейной оптики является
превращение красного луча в синий при прохождении через нелинейный
кристалл. Это характерный пример образования второй гармоники за счет
нелинейных эффектов; его теория строится в духе общих идей § 15.6. Такой
эксперимент впервые поставили Франкен, Хилл, Петерс и Вайнрайх [1].
