Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 176

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 215 >> Следующая

предыдущих результатов. Именно таким подходом Бенджамен [1] обнаружил
неустойчивость типа (15.40) для волн Стокса на глубокой воде. Подробное
исследование этой неустойчивости, основанное как на модуляциях, так и на
взаимодействиях, будет проведено в § 16.11. Здесь для демонстрации самого
метода мы применим рассуждения Бенджамена к уравнению Клейна - Гордона,
где выкладки проще.
Для конечного числа фурье-компонент функцию ф можно представить в виде
Ф = '/*2 <М*)*<КЛ (15.48)
где v пробегает значения ±1, ±2, . . ., +N и мы полагаем х_п =
= -хп, ф_п (t) = ф* (t), п = 1, . . N, чтобы обеспечить веще-
ственность ф. Для уравнения
Фи - ф*ж + Ф = -4стф3 (15.49)
линейное решение (без учета правой части) имеет вид
фу(*) = -4че"|,Ч (15.50)
где
"" = (*" + 1)1/2, "о-" = А-п = AZ (15.51)
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
508
и Av - постоянные. Можно развить почти линейную теорию, считая параметр о
малым.
Формально разложив ф в степенной ряд теории возмущений
ф = ф<°> -|- Стфф -J- СТ2ф<2)
получим цепочку уравнений
ФЙ)-Ф^ + Ф<0, = 0, (15.52)
фи - ФЙ + ф(1> = - 4ф(0)3 (15.53)
и т. д. Запишем решение линейного уравнения (15.52) в виде
= - 2j Ave v v
и подставим его в правую часть уравнения для ф(1). Однако резонанс
приводит к вековым членам у ф(1), и разложение имеет неравномерный
характер. Это фактически несколько более общий случай ситуации,
отмеченной при рассмотрении разложения Стокса периодических решений в §
13.13. Равномерная аппроксимация получается включением резонирующих
членов третьего порядка в уравнение предыдущего приближения для ф'0). Это
приводит к более определенной точке зрения па фурье-анализ и к
группированию членов согласно их вкладам в различные компоненты eiyvx.
Таким образом, мы подставляем разложение (15.48) в уравнение (15.49) и
для каждой из исходных компонент eiyvx имеем
^Г + й>Ж== - а 2 Ф^ФРФу. (15.54)
K"+Ko + K,=Kv
где сц, такие же, как и в (15.51). Кубические члены будут также
генерировать новые компоненты, которые следует добавить в (15.48), но они
не резонируют (по крайней мере в кубическом порядке), и в первом
приближении ими можно пренебречь. Поэтому мы рассмотрим решения уравнения
(15.54).
Чтобы исключить главные осцилляции, введем
фг (t) = Av (t) е~
причем - и это важное отличие) от линейной теории - Av (t) является
функцией от t. Имеем
d2Av Q.v. dAv " V A A. A
и0+и p+>y=Kv
Масштаб времени имеет теперь порядок О (сг-1), и каждое дифференцирование
по t увеличивает на единицу порядок соответствующего члена по а.
Следовательно, можно опустить вторую производ-
15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия
509
(15.56)
ную от Av, что дает
^v_=_AL 2 AaApA/("v-"a-"p-V(. (15.55)
Ka+*p+,<Y=Kv
Резонанс возникает при.
Ха ~Ь 3tp ~Ь Ху = Xv,
GDa -р СОр -f- СОу - (Оv.
Самодействие
(Xv, Ху, Ху) ^ Ху
(и его перестановки) всегда относится к этому случаю. Они приводят к
эффекту Стокса для частоты. Если существует только одна мода х0, то имеем
уравнение
dA0 _ Зга .2 л* - /v*4_pi/2
dt ~ 2со0 + O .
с решением
A = a0e-(3i°/(2"o""of, (15 57)
и тогда
<p = G0cos{x0z- (со0 + у -2^-) *} + ... .
Это совпадает с результатом Стокса (14.12).
При изучении устойчивости Бенджамен рассматривает эффект близких "боковых
частот" с волновыми числами х0 ± р при основном волновом числе х0. Таким
образом, множество xn, п = 1, . . .
. . ., N, имеет вид {х0, х0 - и, х0 + р}, и для получения полного
множества xv следует добавить их отрицательные значения. Обозначим
соответствующие величины Ап через А0, А_, А+, а сопряженные им величины -
так же, как в (15.51). Тогда уравнения (15.55) примут вид
-1Г = - + 6Л0А+А? + 6А0А_А* + 6А0М+"*},
(15.58)
(tm) - ~ {6А0А*А_ 4- 36А+АЖ + 3AM!}, (15.59)
где
Q = со+ + о) _ - 2ы0; (15.60)
для того чтобы получить уравпение дл - А+, нужно поменять местами индексы
плюс и минус. Тип взаимодействия легко восстанавливается по амплитудам А,
дающим вклад. Первый член в (15.58) описывает самодействие (Стокс);
второй член соответ-
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
510
ствует резонансу (х0, х0 + р, -х0 - р) -> х0 и т. д. Члены с множителем
eiQt, строго говоря, не удовлетворяют резонансному условию для частот. Но
если р мало, то й тоже мало и этот множитель оставляется для сохранения
равномерности приближения при р -"- 0. Числовые коэффициенты перед каждым
членом соответствуют числу перестановок для каждого конкретного
взаимодействия.
При анализе устойчивости предполагается, что А± А0, и уравнения
линеаризуются:
dA0 3iu ^ 2 л *
dt ~ 2со0 °
4г= -^7{6ЛЛМ- + ЗЛ^Ш'}.
Эффекты имеют второй порядок по А0. Как и в (15.57), полагаем А0 = а "е-W
р = 4-^., (15.61)
Z СОо
где а0 вещественно. Для малых р в коэффициентах уравнений для А±
достаточно положить со± ~ со0 и аппроксимировать Й выражением
й ~ со" (х0) р2. (15.62)
Тогда линейные уравнения для А± примут вид - ip (2А_+ Ate*(r)-2р)*},
= - ip {2А+ + 4?а-ад').
Они имеют решения А± = a+eiK±l, где %± удовлетворяют уравнению
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed