Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
заменить на псевдофазу ф (х, f), а у, Р определить равенствами
V = -'Фь Р = Ф*,
точно так же, как кх -¦ сot заменяется на фазу 6 (х, t) (см. § 14.7).
Усредненный вариационный принцип
6 | j X (со, к, Е; у, Р, h)dxdt = 0 (16.75)
для вариаций 6Е, 66, 6h, 6ф дает
6 Е: ХЕ - 0, (16.76)
66: 1 3 д дх ¦хк = = 0, дк . 0оз dt ""Г" дх = 0, (16.77)
6 h: xh=0, (16.78)
6ф: JL. dt ^ д дх Хр= = 0, I ду dt ' дх = 0. (16.79)
Дисперсионное соотношение ХЕ = = 0 дает
[}001НиШсШ1Ь <Ju25 - ДсШх
пг=1+сг--^7+9ТГ+°(?->- <16-80>
что согласуется с формулой (13.123). Родственное соотношение Xh = 0 дает
т=|рч-^+Д^Д)^+о(е*).
Поскольку у = - ф,, р = фж, это уравнение типа Бернулли для потенциала
усредненного течения ф, модифицированное волновым вкладом,
пропорциональным а2. В таких соотношениях, по-
16.8. Уравнения сохранения
535
видимому, удобно выразить коэффициенты, зависящие от Т0, через о"о (к) =
(gk th kh0)l/2, с0 (к) = (gk1 th kh0)ll'l,
с.и-4'"(*){1+жжг}-
т. е. через линейные значения для волн, распространяющихся по спокойной
воде глубиной h0. Имеем
v=ip2+"'.+|'(fL-1)^ + 0<?!)- <lfL81>
16.8. Уравнения сохранения
Плотность и поток волнового действия в (16.77) равны соответственно
*- = 4s?srU?+0<?*>- (16-82)
<f> (со ftfc) ¦_1^ Е (со ft/c)2 d 2 \ f) (fp2\ __
°°h ~ gk th kh •" 2 (gk th kh)* dk 0
= -^(P + C0)+O(?a). (16.83)
В терминах плотности энергии Е они принимают обычный вид.
Сохранение массы
Аналогичные (16.82) и (16.83) величины, входящие в (16.79), имеют вид
Ху=р к, _^р = рйр + А + 0(&). (16.84)
с0
Таким образом, ясно, что первое уравнение в (16.79) представляет собой
уравнение сохранения массы и что волны вносят в массу течения суммарный
вклад Е/с0. Поэтому следует выделить в явном виде скорость потока массы
^=Р+^г- (16'85>
Энергия и импульс
Плотность и поток энергии, определенные в (14.74), оказываются равными
foSeu + yX4-X = -jрШР +1 рgh* + Е + 0 (ЕР), (16.86)
-aXu-yX^phU (±-U* + gh) + U +
+ (U + C0)E + O(E2). (16.87)
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
536
Плотность и поток импульса (см. (14.75)) выражаются формулами
ЛЖв + Р"т = рйР4-- = рМ7+0(?2), (16.88)
со
- kXh-+ X = phlP +1 pgft* + -1) ? + О (Е*). (16.89)
Следует особо отметить простоту этих формул, достигнутую за счет введения
U вместо р. Легко различимы вклады среднего течения, волн и их
взаимодействия. Выражение (16.86) подтверждает, что Е - плотность энергии
волн. Волновой импульс Е/с0 в (16.88) имеет обычную форму, но суммарную
величину удобно записывать и как phU. Выражение для потока импульса
(16.89) содержит интересное слагаемое
(16.90)
это впервые было замечено и использовано Лонге-Хиггинсом и Стюартом [1,
2], которые назвали его напряжением излучения. Следует отметить, что в
потоке знергии (16.87) выражение US соответствует работе; этот член
описывает добавку за счет волнового взаимодействия к обычному потоку
энергии (U + С0) Е. Если механическая система описывается в системе
отсчета, движущейся вместе с ее центром масс, то полная энергия
составляет
m(u+v)2' = ju2yi (tm) + U 2 лгк+у 2/7гу2*
где средний член равен произведению относительного импульса на U; три
первые члена в формуле (16.87) являются аналогом этого простого
разложения.
Учитывая полученные выше выражения, исходные уравнения (16.77) - (16.79)
можно записать так:
4(^)+1{<р+с">1г}=0' !+-ё-=0' <1691>
+ + f+f-0, (16.92)
где to и у даются соотношениями (16.80) - (16.81), а члены порядка О (Е2)
опущены. Альтернативная система, вводящая уравнения сохранения энергии и
импульса вместо уравнения сохранения волнового действия и уравнения
совместности, связывающего Р и у,
16.9. Индуцированное среднее течение
537"
имеет вид
"Ь - о,
(ph)t+ (рШ)х = 0,
(phU)t +(phIP+jpgh* + S)x = 0,
(16.93)*
(16.94)
(16.95)
(bW2+l[MhZ + E)t+
+ {phU (±U* + gh)+US + {U + С0) е]х=Ъ. (16.96)
В первых работах, посвященных волнам на поверхности потока, стоял вопрос
о правильной форме уравнения сохранения "волновой энергии" Е. Один из
способов вывода правильного выражения состоит в возможно более полном
исключении h и U из уравнения (16.96) при помощи предыдущих уравнений.
Легко проверить, что уравнение
правильно. Необходимость в дополнительном члене SUX была отмечена Лонге-
Хиггинсом и Стюартом [2]. Конечно, уравнение (16.97) эквивалентно
уравнению сохранения волнового действия в
(16.91), которое представляется в данном подходе более естественным.
Чтобы установить эту эквивалентность, заметим, что уравнение сохранения
волнового действия можно переписать в виде
Коэффициент в квадратных скобках равен (2С0/с0 - 1/2), а р = = U + О (Е),
так что эти два уравнения совпадают.
Уравнения (16.92) или эквивалентную систему (16.94) - (16.95) можно
рассматривать как уравнения, описывающие индуцируемые волнами изменения
параметров h и U. Это длинноволновые уравнения (см. (13.79)) с
дополнительным волновым членом S. Мы интересуемся здесь изменениями
параметров h и U, индуцированными волновым пакетом. Для волн, движущихся
