Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(16.27), можно получить из § 15.2, используя подходящий лагранжиан. Для
простой модели, рассмотренной выше, такой лагранжиан дается равенством
(16.15).
16.3. Самофокусировка светового пучка
Если нелинейный член в дисперсионном соотношении (16.21) положителен (п2
(со) > 0), то фазовая скорость с = ю/к = с01п возрастает при убывании
амплитуды по мере удаления от оси пучка. Интуитивно это указывает на
стремление пучка сфокусироваться. Конечно, это весьма примитивный довод,
и мы теперь рассмотрим подобные вопросы более детально.
Для пространственных модуляций мы предположим, что локально волну можно
описать как периодический волновой пакет, распространяющийся в
направлении волнового вектора к. Это ¦определяет усредненный лагранжиан,
и в простейших случаях, когда отсутствуют псевдочастоты, он принимает вид
X (со, к, а), где со - частота, а а - амплитуда электрического поля. В
почти линейном случае X (со, к, а) дается равенством (16.22) с к = | к |.
Для решений, в которых со, к, а не зависят от t, имеем со = = const, и
уравнения модуляций, полученные из усредненного вариационного принципа,
имеют следующий вид:
<?" = 0, (16.28)
я дк; dkj
-Йг^==°> *7--йг=0- (16-29)
Если среда изотропна, так что X зависит только от модуля к
вектора к, то уравнения (16.29) сводятся к таким:
я дк; dki
Т5Г№р>"0' (16-30)
где
р = -k~lXh. (16.31)
Дисперсионное соотношение (16.28) устанавливает связь между а и к; отсюда
в принципе р можно выразить как функцию от к (хотя на практике не всегда
удобно действительно • исключать а).
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
520
Интересно, что уравнения (16.30) совпадают с уравнениями сжимаемого
безвихревого течения жидкости, в которых волновой вектор к занял место
вектора скорости, ар - место плотности. Соотношение между р и к, заданное
равенством (16.31), соответствует уравнению Бернулли, связывающему
плотность и скорость в задаче о течении жидкости. В этой аналогии
световой пучок соответствует струе жидкости. Но при выводе качественных
результатов непосредственно из задачи о течении жидкости необходима
осторожность, поскольку в оптике р обычно является возрастающей функцией
от к, тогда как в жидкости плотность и скорость меняются противоположным
образом. В то же время можно с успехом использовать известные методы
нахождения решений.
Тип уравнений (16.30)-(16.31) определяет их математическую структуру. Это
не связано с вопросом об эллиптичности исходных зависящих от времени
уравнений. Более того, эллиптичность стационарных уравнений не указывает
на неустойчивость; их тип влияет только на свойства решения и вид
граничных условий.
Для плоских или осесимметричных пучков направим х вдоль оси пучка и г в
поперечном или радиальном направлении. Волновой вектор будет
соответственно иметь компоненты (&1? к2), и уравнения (16.30) - (16.31)
запишутся в виде
"1Д-~fir~= 0' (16.32)
i (pfti) + i ш + " °> <16-33>
р = р(&), (16.34)
где т = 0 для плоского пучка и т = 1 для осесимметричного
пучка.
Тип уравнений
Характеристики легче всего найти, временно восстановив фазу 6. Произведем
замену
к-± = 0^., к2 0Г н запишем (16.33) как уравнение второго порядка:
(' +4?K+JTa-Te"+(1 +-ff) е"+-^е,-°.
Тогда характеристики в (х, г)-плоскости должны удовлетворять уравнению
(< +1 f) (1 + тт)^=°-
16.3. Самофокусировка светового пучка
521
Характеристики будут мнимыми, а уравнение эллиптическим, если
1 + й ->0;
Р
в противном случае характеристики вещественны и уравнение
гиперболическое.
Для почти линейной теории, описываемой лагранжианом (16.22), имеем
p=-k-'Xh = %§-a*, (16.35)
и, следовательно,
~=п0 (со) + у щ (со) а2 = п0 (со) + р. (16.36)
CD & k()co
Если п2 (со) > 0, то р' (к) >0 и стационарные уравнения эллиптические. Мы
рассмотрим только этот случай. Заметим, что, в силу
(16.26), исходные зависящие от времени уравнения будут гиперболическими,
если, кроме того, выполняется условие /с" (со) > 0.
Фокусировка
"Линии тока", определяемые векторным полем к, являются ортогональными
траекториями семейства фазовых поверхностей 6 = const. В изотропной среде
групповая скорость имеет то же направление, что и к, и линии тока
являются лучами. Можно представить себе, что фазовые поверхности движутся
вдоль этих лучей и фокусировка связана с тем, что лучи сходятся. При
анализе удобно преобразовать уравнения (16.32) - (16.34) и ввести
координаты (5, т]), связанные с этими лучами и фазовыми поверхностями.
Если ввести
h = lx, h = lr, Q = l(x,r)-cot,
pk\rm = T]r, phrm=~t]x, ( ' >
то уравнения (16.32) - (16.33) будут удовлетворяться тождественно;
последовательные положения фазовой поверхности даются равенством Е =
const, а линий тока - равенством ц = const. Соотношения (16.37) можно
обратить:
" pfcr(tm) '
г cos У-11 ркгт '
где х - угол между вектором к и осью х. Таким образом, уравнения
совместности можно записать в виде
дх РГт дк д% J д / I
к дг)' дг] ~к д\ [ ркг(tm) / * (lb.38)
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
