Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волнового действия (15.2) при переходе через разрыв обеспечить нельзя.
Они были выведены для решений специального вида в предположении медленных
изменений, так что нет возражений против их нарушения в области резких
изменений, соответствующей ударной волне. Эти ударные волны,
следовательно, будут являться источником осцилляций и содержать скачки
адиабатических инвариантов; последнее напоминает квантовые скачки
адиабатических инвариантов в квантовой теории!
' Следует снова подчеркнуть, что все это просто формализм без позитивной
точки зрения на структуру этих ударных волн или даже на необходимость их
возникновения. Более того, эти разрывы будут иметь необратимые свойства,
в то время как исходное уравнение для ф обратимо. Здесь имеется связь с
классическими примерами задач о системах, обратимых на некотором точном
уровне описания и оказывающихся необратимыми в макроскопических
приближениях.
С другой стороны, если предположить, что разрывы соответствуют явлениям,
не описываемым исходным уравнением, но учитываемым некоторым еще более
подробным описанием, содержащим какого-либо рода диссипацию, то выбор
будет другим. Импульс, вероятно, будет сохраняться, а энергия, по-
видимому, нет. Непохо-
Us 1ю,5?и - X] + \а>Хк] = 0, и,[к%а,]+1кХь - %] = 0,
(15.28)
(15.29)
15.5. Приближение более высокого порядка
503
же, чтобы уравнение (15.2) было правильной альтернативой, но уравнением
(15.3) можно заняться. Как показано в § 13.15, при наличии диссипации в
диспергирующих моделях можно построить гладкие осциллирующие изменения
между двумя различными постоянными состояниями. В этом случае концевые
состояния постоянны, поскольку диссипация гасит осцилляции по обеим
сторонам переходной области.
Таким образом, уравнение (15.3) не описывает изменение состояния внутри
осциллирующего волнового пакета, как предполагается здесь. Но' оно
указывает на существование однозначной фазовой функции, и это является
доводом в пользу выбора уравнения (15.3) в качестве возможного условия на
разрыве при учете диссипации. Все это опять весьма умозрительно, и
бессмысленно двигаться дальше в этом направлении, не имея более
определенной информации и результатов.
15.5. Дисперсионные эффекты в приближении более высокого порядка
Рассмотрим теперь уравнения модуляций в следующем после
(15.1) - (15.3) порядке приближения. Для простоты будем работать с
примером
Ф" - 4>хх + ф + 4<кр3 = 0 (15.30)
и ограничим анализ почти линейным случаем. Но результаты типичны для
задачи в целом, и более содержательные физические приложения будут
указаны при изложении нелинейной оптики в § 16.4.
Вариационный принцип для (15.30) включает лагранжиан
? = уф<- j- ф? -уФ2 - °Ф4> (15.31)
и точные уравнения модуляций находятся из условия
8jjZdXdr = 0, (15.32)
2я
-к J {Т (^ + ефг)2 г №фв + еФ*)2 -
о
-L ф2 - аф4 } dQ> (15.33)
как показано в (14.44). (Мы возвращаемся к обычной частоте ю = -v.) Для
почти линейной теории можно использовать ряд Фурье
Ф = a cos 0 + а3 cos 30 + а5 cos 50 + . .
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
504
как и при выводе (14.52). Но теперь мы сохраним также члены следующего
порядка по е. Коэффициенты ап пропорциональны ап, и данный случай
особенно прост, поскольку в нужном нам порядке приближения дает вклад
только член a cos 0. Имеем
Z =-|- (со2- к2- 1)а2-оа4+-^-е2 (а| - ах)-\-0 (а6, е2а4). (15.34)
Это двойное разложение, в котором предполагается, что е и а - величины
одинакового порядка *). Линейный член равен V4 (со2 - к2 - 1) а2, первая
нелинейная поправка дает -3/8 сто4, и первая поправка за счет дисперсии
высшего порядка составляет V4 е2 (а? - ах). Вариационные уравнения
записываются так:
8а: (со2 - к2-1)а - Заа3 - &{атт- ахх)~ 0, (15.35)
60: JL (соа2) +-^г (ка2) = 0, (15.36)
а условие совместности - так:
§+ж=°- <15-37>
Следует отметить, что, в силу (15.35), (c) (X, Т) теперь зависит также и от
е и что последовательное разделение в цепочку уравнений для различных
порядков по е не было проведено. Вариационный принцип (15.32) является
точным, и мы всего лишь применили его к приближенному лагранжиану
(15.34).
В данном конкретном случае уравнения модуляций высшего порядка
оказываются более сложными по форме, чем исходное уравнение (15.30)! Тем
не менее по ним легче определить поведение модуляций, чем по исходному
уравнению. Конечно, обычно при переходе к уравнениям модуляции
достигается значительное упрощение, но как бы то ни было система (15.35)
- (15.37) типична для общего случая.
Когда члены с е опущены, уравнения модуляций становятся гиперболическими
при с>0и эллиптическими при a <z 0. Эффекты дисперсии высшего порядка
вводят в уравнения (15.35) -
(15.37) третьи производные от а, и уравнения модуляций сами становятся
диспергирующими. В случае а > 0 они по структуре аналогичны уравнениям
Буссинеска.
Следует ожидать, что следствия для опрокидывания будут такими же, как
было указано в § 15.4. Относительно существования периодических решений и
