Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
уединенных волн мы ограничимся краткими замечаниями. Сначала, однако,
посмотрим, какое
Э Эквивалентным образом можно положить а величиной порядка О (1),
принять а за меру нелинейности и использовать двойное разложение по малым
параметрам а и е2.
15.5. Приближение более высокого порядка
505
влияние оказывают дополнительные члены на неустойчивость, обнаруженную в
эллиптическом случае a <Z 0.
Однородный волновой пакет является решением с постоянными величинами
со<0>, /с(0), в(0), удовлетворяющими дисперсионному соотношению (15.35).
Для малых возмущений со(1), к(1), а(1) этих значений линеаризованные
уравнения (15.35) - (15.37) являются однородными и имеют постоянные
коэффициенты, зависящие от ш<0\ /с(0), а<0). Для возмущений со'1', /с'1*,
а(1) имеются элементарные решения, пропорциональные eiw-x~CT\ где С
удовлетворяет соотношению
{(о(0)С_ frо>}2-(1 - С)2 { Зр^°>2 + (1 - С2) } = 0. (15.38)
Параметр ц определяет волновое число для модуляций. Для малых значений
а(0) и е
У о" \ / ЗРа""2 \ 1/2
С - (0(0) ± (0(0)2 \ 2 + 4и<0>2 ) • (15.ЗУ)
Если пренебречь членом с ц, то это будут просто характеристические
скорости, комплексные при сг <; 0. Влияние дисперсии за счет поправки по
ц имеет стабилизирующий характер, и неустойчивость теперь ограничена
областью
0 < е2ц2 < 6 | а | со(0)2в<0)2 (15.40)
изменения модуляционного волнового числа ец.
В обоих случаях а>0ио<0 важно заметить, что система (15.35) - (15.37)
имеет решения в виде стационарных профилей, распространяющихся без
изменения формы. Они находятся обычным образом как решения, у которых все
величины являются функциями от переменной X - VT. Имеем
е2 (1 -V2) a'-j- (со2 - к2 - 1) в - Зав3 = 0, (15.41)
(coF - к) а2 = R, (15.42)
с0 - Vk = S, (15.43)
где R и S - постоянные интегрирования. Последние два уравнения можно
использовать для исключения из первого уравнения переменных со и к, что
дает
е.(1_уу = .g-W+fl-r1) (**+3°*6) . (15>44)
В общем случае это уравнение имеет периодические решения (волновые
пакеты, образованные огибающей исходного модулированного волнового
пакета!), в которых а осциллирует между двумя простыми нулями числителя
правой части. Уединенные волны соответствуют предельным случаям.
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
506
Уединенная волна св->0 при X -*- ±оо представляет особый интерес; она
описывает волновой пакет, изображенный на рис. 15.2.
Рис. 15.2. Модуляция типа уединенной волны.
В этом случае в равенстве (15.42) R = 0, поскольку а 0 на оо. Отсюда
У=|; (15.45)
далее, в свою очередь, в силу соотношения (15.43), величины со и к
являются постоянными. Для этого примера линейное дисперсионное
соотношение имеет вид со0 = (к2 + 1)1/2 и линейная групповая скорость
выражается формулой
С0=-* =JL<1.
"о
Мы видим, что скорость V является нелинейным аналогом скорости С0; для
малых амплитуд V и С0 будут близки. Поскольку С о < 1, можно считать, что
V < 1. Так как со и к постоянны, уравнение (15.41) для а интегрируется и
дает
е2 (1 - У2) а'2 = -|-ста4 - (со2 - /с2 - 1) а2. (15.46)
Чтобы а -"- 0 на оо, должно выполняться неравенство со2 - к2 - 1 < 0.
Для максимального значения а имеем
щ2_да_1 = !'аа(tm) (15.47)
так что уединенные волны данного типа существуют только в эллиптическом
случае а <С 0. Скорость (15.45) для такого волнового пакета равна
v= к 3 |о|а2т
(Л2+1)1/2 4 (&2+1)
3/2
он движется несколько медленнее, чем возмущения с линейной групповой
скоростью. Для аналогичной задачи нелинейной оптики Островский [1]
предположил, что результатом неустойчивости может быть периодическое
решение, по существу являющееся последовательностью таких волновых
пакетов.
15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия
507
В гиперболическом случае а > 0 такие предельные уединенные волны
отсутствуют, но можно найти периодические волновые пакеты и уединенные
волны с амплитудой а, отделенной от нуля. Это похоже на истину, поскольку
при о > 0 модуляции в гиперболической теории (е = 0) приводят к
искажениям, но не нарастают. Дисперсия может противодействовать этим
искажениям и привести к стационарным профилям, и нет причины для
возрастания, ведущего к предельному случаю с а - 0. Наличие таких
профилей подтверждает существующее мнение, что в некоторых случаях не
происходит опрокидывания, и в области опрокидывания волновой пакет
стремится к стационарному осциллирующему профилю.
В почти линейной теории дисперсионные члены высокого порядка возникают за
счет квадратичной части лагранжиана и легко показать, что общее
выражение, отвечающее лагранжиану (15.34), имеет вид
L - G (со, к) а2 + бг2 (со, к) а'1 -|- -g- е2 {Gah,a?r -[- 2Gblharax -j-
Ghkax} • Вариационные уравнения аналогичны уравнениям (15.35) - (15.37).
15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия
Если амплитуды малы и используются лишь несколько фурье-ком-понент, то
нелинейные взаимодействия между компонентами можно изучать
непосредственно. Это дает возможность иного подхода к некоторым из
