Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
аналогичны случаю волн на воде, который будет рассмотрен ниже.
Основываясь на лагранжиане (16.15) и используя описанные в предыдущих
главах методы, можно вывести общие результаты. Однако большая часть
результатов нелинейной оптики связана с почти линейным случаем. В этом
конкретном контексте он обладает тем преимуществом, что хотя для
обоснования теории используется специальная модель, более широкая
интерпретация формул достаточно ясна. Почти линейную форму лагранжиана X
легче всего получить непосредственной подстановкой разложений
(16.10) в (16.12), а не аппроксимацией выражения (16.15). Вычисление
лагранжиана X вплоть до четвертого порядка по а особенно просто,
поскольку коэффициенты а3, Ь3, которые имеют третий порядок по а, дают
вклад лишь в члены шестого порядка и выше. (Ср. с выводом выражения
(14.52).) Таким образом, в этом порядке
Вариационное уравнение Хь = 0 позволяет выразить Ъ через а:
16.1. Основные идеи
517
Подставляя этот результат в выражение для X, получаем
A) <1619>
Б качестве проверки отметим, что дисперсионное соотношение Ха = 0
совпадает с (16.11), как и должно быть.
Первый член в (16.12), который можно записать в виде Vs e0 (Е2-cfJJ2),
является основным волновым оператором для электромагнитных волн в
свободном пространстве. Он всегда приводит к члену
1 ( . с$к2 \ о
Т ( 0)2" ) (r)Оа
в лагранжиане X, где а - амплитуда электрического поля. Другие члены в
выражении (16.19) описывают отклик среды на осциллирующее электрическое
поле. Для других моделей, а также для учета заданных свойств среды можно,
по-видимому, предположить по аналогии, что
^ \ ( Ь - ) е0а2 4 g2 И Ща2 + gk (со) е^4, (16.20)
где g2 (to) и gk (to) - некоторые функции. Тогда дисперсионное
соотношение Ха = 0 позволит связать функции g2, gk с поведением
показателя преломления. Если потребовать, чтобы дисперсионное соотношение
имело вид
n = -^- = n0(to)-j--|-n2(to)a2, (16.21)
то мы должны положить
Х = Т { п" Н } е°а2 +'Wn° ^ ^ 8°а4' (16-22)
Коэффициент п0 (to) - это линейный показатель преломления, и теперь его
можно задать выражением, более близким к действительности, чем (16.9).
Например, включив большее число резонансных частот Vj, будем иметь
< Н = 1 . 2 и-= 1"
д 3 3
где fj = Nj/N - относительное число электронов с резонансной частотой Vj.
Это согласуется и с квантовотеоретическим описанием, для которого Vj -
частоты перехода, а f} - вероятности перехода. Аналогичным образом,
нелинейный коэффициент п2 (to) можно выбрать так, чтобы описать другие
модели или известные физические свойства среды. Однако всегда следует
помнить о том, что мы ограничиваемся случаями, в которых отсутствуют
квадратичные средние полей.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
518
16.2 . Одномерные модуляции
В почти линейной теории можно поступать точно так же, как и в § 14.2. В
оптике более принято, чтобы дисперсионное соотношение выражало к или п
как функцию от со, так что в теории модуляций мы примем за основные
переменные со и а. Дисперсионное соотношение можно записать в виде х)
В низшем порядке уравнения модуляций, соответствующие уравнениям (14.18)-
(14.19), имеют вид
Характеристические скорости определяются равенствами
Уравнения являются гиперболическими, если кпЩ > 0, и эллиптическими, если
кпЩ < 0. В силу дисперсионного соотношения
(16.11), знак к" совпадает со знаком v2 - со2, а знак кп совпадает со
знаком а. Отсюда видим, что уравнения
Эти результаты впервые были получены Островским [1]. Обычно в оптике со2
< v2, а > 0, так что уравнения оказываются гиперболическими. Однако
Островский [2] сообщает об экспериментах на радиочастотах с ферритами и
полупроводниковыми диодами, где можно получить оба случая. Обнаружены как
гиперболическое искажение, так и эллиптическая неустойчивость, и, по-
видимому, в результате образуются устойчивые модуляции (ср. с обсуждением
эффектов более высокого порядка в § 15.5).
Эффекты следующего порядка приводят к тому, что в выражении (16.17) для X
появляются квадратичные по производным от а и Ъ члены. Тогда уравнения
модуляций оказываются по структу-
к = к0 (со) -ц кп (со)а2,
(16.23)
где
(16.24)
(16.25)
4" К ((r)) ± {кп Н К (")}1/2 о-
(16.26)
гиперболические: a (v2 - со2) > 0, эллиптические: a (v2 - со2) -< 0.Ц
(16.27)
*) Для обозначений нелинейного коэффициента мы используем кп вместо к2,
поскольку к2 потребуется в дальнейшем для обозначения ж2-компо-ненты
вектора к.
16.3. Самофокусировка светового пучка
519
ре подобными уравнениям, рассмотренным в § 15.5. Качественно явления
одинаковы, так что детали для этого случая приводить не будем. Основные
результаты были получены Островским [1], а Смолл [1] показал, как можно
использовать вариационный подход. Мы, однако, изучим в следующем
параграфе аналогичную задачу о пространственных модуляциях и
самофокусировке пучка. Для них важны эффекты высшего порядка, так что мы
кратко обрисуем теорию.
Полностью нелинейные результаты, соответствующие выражениям (16.26)-
