Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Один инвариант Римана всюду постоянен, а модулируемые переменные ю, к, а
остаются постоянными вдоль каждой характеристики из соответствующего
семейства. В линейной теории к остается постоянным, но аи ?"1/2 вдоль
характеристик. Это различие между нелинейным и линейным поведениями,
вероятно, не так легко уловимо, как групповое расщепление, и может
частично маскироваться эффектами высшего порядка.
Наконец, в рамках гиперболических задач имеется вопрос об опрокидывании и
образовании ударных волн. Зависимость характеристических скоростей от
модулируемых переменных вводит обычное гиперболическое искажение, и
модуляции типа "сжатия" в простой волне приводят к возникновению областей
многозначности решения. Что происходит дальше, пока еще не ясно.
В отличие, от задач, рассматриваемых в части I, теперь нет возражений
против многозначных решений как таковых. Их можно интерпретировать как
суперпозицию двух или нескольких волновых пакетов с различными значениями
волновых чисел к и амплитуд а. Фактические решения не будут корректно
описываться уравнениями (15.1) - (15.3), поскольку , эти уравнения были
выведены^ в предположении существования единой фазовой функ-
15.4. Нелинейная групповая скорость
501
ции. Но они будут, вероятно, охватываться исходным уравнением.
Действительно, именно суперпозиция имеет место в линейном случае. Хотя мы
и не задавались этим вопросом в предыдущих обсуждениях, можно представить
себе волновой пакет с линейной групповой скоростью С0 (к), убывающей по
направлению к волновому фронту. Тогда, поскольку значения волнового числа
к распространяются со скоростью С0 (к), со временем в волновом пакете
возникнут области наложения.
В линейной теории суперпозиция не вносит каких-либо трудностей и весь
процесс можно изучать при помощи точного решения в виде интеграла Фурье.
Хотя в нелинейном случае этот процесс трудно проследить аналитически,
качественно поведение кажется вполне доступным анализу. По-видимому, в
области наложения понадобится что-то вроде многофазового решения,
упоминавшегося в § 14.9, но исследование переходного процесса является
трудной задачей.
Вторая возможность состоит в том, что члены высшего порядка
модуляционного приближения играют большую роль при ситуации, близкой к
опрокидыванию, и препятствуют развитию многозначного решения. В общем
случае легко убедиться (и это будет достаточно подробно показано в
следующем параграфе), что за счет эффектов высшего порядка в уравнениях
(15.2) и (15.3) обычно появляются дополнительные члены, содержащие
производные третьего порядка. Внешне эти уравнения становятся подобными
уравнениям Буссинеска и Кортевега - де Фриза. По аналогии можно ожидать,
что опрокидывание подавляется этими дополнительными членами. Конечно, как
и в случае волн на воде, дополнительные члены вводятся как малые поправки
к крупномасштабным процессам и являются первыми членами бесконечного ряда
высших производных. Было бы непоследовательно считать, что от них во всех
случаях зависит, произойдет ли опрокидывание. Похоже на то, что это имеет
место для малых симметричных модуляций, которые развиваются в серию
уединенных волн, тогда как существенно асимметричные модуляции в
некотором смысле опрокидываются.
Теперь к вопросу об ударных волнах. Формально в решениях уравнений (15.2)
и (15.3) разрывы переменных со, к, А допустимы. Их следует
интерпретировать как слабые решения, и условия на разрыве должны
определяться соответствующими уравнениями сохранения, как описано в §
5.8. Теоретически это наиболее привлекательная ситуация, но в данном
конкретном контексте она, вероятно, менее всего соответствует
действительности.
Неуверенность в интерпретации делает менее ясным и выбор подходящих
условий на разрыве. Уравнения (15.2) и (15.3) уже имеют форму законов
сохранения, но столь же очевидными кандидатами являются уравнения
сохранения энергии и сохранения
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
502
импульса. Последние имеют вид
о,
jr{kXa)-^{kXk-X) = 0.
(15.26)
(15.27)
В действительности существует бесконечно много уравнений сохранения.
Однако только уравнения (15.2), (15.3), (15.26) и (15.27) имеют очевидный
смысл. Наша система, по существу,- система второго порядка (равенство
(15.1) не является дифференциальным уравнением), так что два уравнения
сохранения должны быть выбраны для обеспечения двух условий на разрыве.
Этот выбор связан с тем, что по нашему мнению представляют из себя
ударные волны. Если они рассматриваются как приближения к решениям, еще
охватываемым исходным подробным уравнением для ф, то следует выбрать
условия на разрыве, исходя из уравнений (15.26) и (15.27). Причина
состоит в том, что энергия и импульс сохраняются при более подробном
описании ф и, следовательно, должны сохраняться в приближении, основанном
на предположении о медленном изменении. При этом условия на разрыве
записываются так:
где Us - скорость ударной волны. Сохранение фазы (15.3) и сохранение
