Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
522
Если р убывает при удалении от оси, то, в силу (16.36) и предположения п2
> 0, это же имеет место и для к. Следовательно, из первого уравнения
(16.38) следует, что ду1д\ < 0; это указывает на то, что лучи загибаются
к оси и пучок фокусируется. Соответственно если п-2 < 0. то происходит
дефокусировка.
Узкие пучки
Некоторые интересные решения приведенных выше уравнений были построены
Ахмановым, Сухоруковым и Хохловым [1] при предположении, что пучок узок.
Предполагалось, что нелинейные эффекты дают малую поправку к линейной
плоской волне с постоянным волновым числом К и что производные по г имеют
больший порядок, чем производные по х, вследствие того, что пучок узок.
Пусть
6 = - 0)1 + Кх -г Ks (.г, /¦),
где производные sx и .у,. обе малы, но sx и sf имеют одинаковый порядок.
(Этого можно добиться формальпо, положив
- соt 4- Кх 4- Ke2s
ЬтЬ
где е - амплитудный параметр.) В этом приближении имеем
1
к
и почти линейное дисперсионное соотношение п - c0klco = = /г0 ~т- 1/2
п2а2 дает
+ (16.39)
и предположении, что с0К/со = п0 (со). Поскольку, в силу (16.35), р оо
а2, то в (16.33) р можно заменить на а2. Тогда, учитывая предположение
sx<^sT, уравнение (16.33) можно переписать так:
¦|г+* (¦s-+ тSr)а2=1°- (16-4°)
Уравнения (16.39) и (16.40) образуют замкнутую систему относительно
функций s и о2.
Можно ожидать, что в окрестности оси s имеет вид
s = 0(:r)+Y-^-f-6>(r4), (16.41)
тде R (х) - радиус кривизны фазовой поверхности у оси.
Удивительно, что существует точное решение, для которого s (ж,
г) име-
ят в точности эти два члена. Из (16.39) видно, что а2 должно быть
квадратичным ifo г, и уравнение (16.40) дает соотношения между
16.3. Самофокусировка светового пучка
523
различными коэффициентами. Эти соотношения имеют вид
°2 fm+Hx) I1 ~ г02/2(*) } ' (16.42)
Я _ /' (х) (16 43}
2 n0 fm+l (х) ' Я (х) 1(х) ' v
где
/(0) = 1; (16'44)
здесь г0 - начальный радиус пучка, а0 - начальная амплитуда на оси, a R0
~ начальный радиус кривизны фазовой поверхности.
Если фазовые поверхности в точке х = 0 плоские (Rц1 = 0), то решения
уравнения (16.44) имеют вид
т = 0: ^ ~ {/1/2 (1-/)1/2-arc sin/1/2 л-у | , (16.45)
га = 1: .r=(^°V/2^°-(l-f)1/2. (16.46)
\ ^2 / "0
Пучок фокусируется, и решение становится сингулярным в точке, где / (.г)
-*• 0; здесь радиус кривизны R {х) ->¦ 0 и амплитуда " оо. Расстояние до
этой точки фокуса составляет
xf=т (й):1/2 "S' для m=°' (16'47)
^=(-5)1/2^ Длят=1- (16-48)
В окрестности особенности производные высшего порядка от а начинают
играть важную роль и должны быть включены в уравнения (16.39)-(16.40).
Как мы увидим, эти дополнительные члены вводят дисперсионные эффекты,
которые препятствуют фокусировке и приводят к непрерывным решениям.
Прежде чем это проделать, упомянем о красивом решении плоской задачи (т =
0), найденном Ахмановым. Сухоруковым и Хохловым. Введем"
v = sy, х = а2; тогда система (16.39)-(16.40) примет вид
vx + Wy - yxy = 0,
'Cx + VX" + XVy = 0,
где для плоского случая мы заменили г на у. Эти уравнения подобны
уравнениям нестационарной одномерной газовой динамики, за исключением
изменения знака у у. При помощи преобразования
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
524
годографа они сводятся к линейным'.
у% - vx% - yxv = О,
yv - vxv + т.гх = 0.
Вследствие линейности эти уравнения допускают возможность построения
общего решения при помощи суперпозиции. Однако в упомянутом здесь частном
решении авторы заметили, что предпочтительнее использовать переменные
р = хг, q = у - vx.
Уравнения годографа
Qx~ -7^ = 0, qv+Px = 0 преобразуются затем к виду
Vj) - ^Xg = 0, Tp + Kg = 0.
Положив v - - Фр, т = Ф(J, получим
ФдФрр + ТФдд = 0.
Это уравнение имеет решение с разделяющимися переменными
Ф= (ЧЧ|-Р2) th|-,
которое и описывает пучок. В исходных переменных решение выражается через
параметры р и q следующим образом:
s" = l'---TTthT' <*2 = *=(<*;+>фесЬ*!, y=!L + q.
На начальной плоскости х = 0 имеем
sy = 0, а2 - а% sech2 (y/h).
В начале пучок состоит из лучей, параллельных оси х, и имеет близкое к
действительности распределение амплитуд. Можно показать, что пучок
фокусируется в точке
Xf = -- = (-тр*- )1/2 -. (16.49)
1 2у 1 "о V 2ге2 / "о
Чтобы это решение согласовывалось около оси с формулой (16.42), следует
положить h = г0, и мы видим, что формула (16.47) для фокусного расстояния
дает хорошее приближение.
16.4. Дисперсионные эффекты
525
16.4. Дисперсионные эффекты в приближении более высокого порядка
Временно вернемся к частной модели с лагранжианом (16.12), чтобы оценить
влияние членов следующего порядка в модуляционном приближении. В почти
линейной теории исходными, как и ранее, являются разложения (16.10), но
теперь после подстановки сохраняются производные коэффициентов а, а3, . .
., Ь, Ь3, . . ., как было объяснено в § 15.5. Для стационарных пучков эти
параметры модуляций являются функциями только от х, и из (16.12) видно,
что производные по х возникают только в члене - Сцф|. (обобщенном на
