Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Полное изложение теории дано Яривом [1, гл. 21]. Отметим кратко основные
моменты.
В этом случае соответствующим нелинейным эффектом является квадратичная
зависимость Р от Е и предполагается, что компоненты Р задаются
соотношениями
Pi = К - 1 )^Ei + di}hEjEh. (16.62)
Такое поведение (с ненулевыми йцъ при неравных между собой г, j и к)
демонстрирует, например, дигидрофосфат аммония. Анизотропия этого
соотношения соответствует анизотропии кристалла. Для трехмерного варианта
уравнения (16.4) оно моделируется несимметричной потенциальной ямой
V (Р) с* PtPjPh.
В общем случае вследствие дисперсии величина щ зависит от
частоты со, но коэффициенты dijk, как правило, от со не зависят.
Уравнения Максвелла можно привести к одному уравнению
= (16.63)
16.5. Генерация второй гармоники
529
Однако, в случае когда существует несколько взаимодействующих мод с
различными частотами, необходима известная осторожность при
непосредственном использовании соотношения (16.62), поскольку щ зависит
от со. В то же время если Pt расщепляется на две части Pt = Р[ + Р'(, где
Р[ относится к линейной части, а Р1 - к нелинейной, мы знаем, что для
любой отдельной частоты
-М-(r)-+±4?)-(16-М)
где к (ю) - соответствующее волновое число для линейных волн. Рассмотрим
теперь ряд взаимодействующих плоских волн, у-и z-компоненты которых
соответственно равны
Et = y 2 -4ia) (х) ехр (ika - iwat);
а
здесь а - +1, ± 2, ... ,
к_п = кп, со_п = -соп, А<-"> = А(Т!>*
и йп, <°п удовлетворяют линейному дисперсионному соотношению. Подставив
эти выражения в (16.63), получим
2j { lk° ~dT~+ 2 / ехр ^каХ - mat) = Го •
а
Нелинейный член Р" приводит к модуляциям амплитуд А(">. Предполагается,
что эти модуляции медленные по сравнению с периодом волны и что вторыми
производными по х можно пренебречь. Полагая
Р\ = dijhEjEh,
имеем
V, d4a)
2_ ika -fa- ехр (ikax - mat) =
а
= --у- 2 (мр + Wv)2dijpA^A^ ехр{;' (ке -(-ку)х - i (мр-[-cov) t}.
Р, v
(16.65)
Для трех взаимодействующих волн с частотами, удовлетворяющими условию
резонанса
о"! -f- (о2 = to3, (16.66)
члены, пропорциональные eiait, дают
= aidmA}S)Ak}* ехр {? (к3-h - кг)х}.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
530
Аналогичным образом
dAi2)
~dT=•ч?гаЛкАТАГ ехр {i (к3-ку-kj х}, dAiS)
~~?r = ТДГ ^d4hAf)Ah] ехр { - i (h - К - К) х}.
Если предположить, что первоначально при х = 0 амплитуда А(3) = 0 и что
первичные волны А'1' и А<2) очень мало ослабляются взаимодействием, то в
уравнении для dAi3'/dx можно считать А(1) и А<2) постоянными и получить
/its) Иосо j иа)/1<2) (1-" гхЛЛ)
Аг Лк Ак
ДА = Лг3-ку - к2.
Амплитуда пропорциональна (sin (V2 хАк))/(112 Ак). Если взаимодействующие
волны удовлетворяют условию резонанса
Д к = к3 - ку - к2 - 0 (16.67)
точно, то сначала амплитуда А(3) возрастает линейно по х, но затем
следует включить в рассмотрение другие уравнения взаимодействия (из
которых следует, что А(1) и А(2) уменьшаются по мере возрастания А(3)).
Энергия осциллирует между взаимодействующими модами. На последующих
стадиях необходимо учитывать затраты энергии на образование гармоник
высших порядков, а также диссипацию энергии.
Рассмотрим генерацию второй гармоники. Вторая гармоника образуется за
счет самодействия, для которого
сох = (о2 = со, (о3 = 2(0х.
В нормальных условиях, однако, А к = к (2со) - 2 к (со) =И= 0 вследствие
дисперсии, и амплитуда второй гармоники мала. Чтобы улучшить положение
дел и получить истинный резонанс, Джорд-мейн [1] и Мейкер с соавторами
[1] предложили остроумный способ использования двоякопреломляющих
кристаллов (описанных в § 12.8) для согласования обыкновенного луча с
частотой со с необыкновенным лучом с частотой 2со. Условие согласования
к(е'(2(о) - 2к<0 (со) = О
эквивалентно условию
п{е)( 2со) - я<0)((о) = О,
где индексы (е) и (0) отвечают необыкновенному и обыкновенному лучам
соответственно. Изменение коэффициентов nSe) (2to) и пт((о) при изменении
угла между волновым вектором и оптической осью показано на рис. 16.1.
Вектор к изображен в положении, обеспе-
16.6. Усредненный вариационный принцип
531
чивакяцем ^требуемый резонанс. Для луча рубинового лазера (К = 6940 А) в
кристалле дигидро фосфата калия угол равен 50,4°. Все детали, а также
возможные альтернативы приводятся в книге Ярива [1].
Рис. 16.1. Схема согласования обыкновенного и необыкновенного лучей.
При таких улучшениях условия резонанса эксперименты прекрасно
подтверждают теорию. Замечательная фотография, сделанная Терхуном.
воспроизведена на фронтисписе книги Ярива.
Волны на воде
16.6. Усредненный вариационный принцип для волн Стокса
Применим теперь вариационный подход к некоторым задачам теории волн па
воде. Вариационный принцип дается равенствами
(13.16) - (13.17) из § 13.2, а приближенный анализ Стокса и Кортевега
- де Фриза, подтверждаемый последующими доказательствами математических
теорем существования, убеждает в существовании периодических
диспергирующих волновых пакетов. Поскольку ф - потенциал и в лагранжиане
