Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
по спокойной воде глубиной h0, можно предположить, что U и Ъ = h - h0
малы, и линеаризовать уравнения; это дает
Et + {(U+C0)E}x + SUx = О
(16.97)
h dbjQ
<о0 8h
16.9. Индуцированное среднее течение
bt+h0U х - 0,
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
538
Для многих целей достаточно считать S известным силовым полем, уже
определенным с помощью линейной дисперсионной теории для распределений к
и Е. Поскольку в этой теории
kt + С0 (к) кх = 0, Et -|- (С0Е)Х = 0
и S имеет форму / (к) Е, получаем, что
{? (к) $}t + {? (k)C0S}x = 0
для любой функции g (к). Тогда легко проверить, что решением системы
(16.98) являются
b = h h0= - -Сд (к) '
г о х В clw P°s (16-99)
1Г 1>Ф0 gh0 - Cl (к) ' р/Ч) *
К этим выражениям можно добавить решения однородных уравнений, т, е.
функции от х ± У gh0t. Из (16.99) видно, что разность групповой скорости
и длинноволновой скорости Уgh0 не должна быть слишком мала по сравнению с
а2. Но именно это требуется для справедливости разложения Стокса; в
пределе Cl -gh0 мы приходим к уравнению Кортевега - де Фриза.
При образовании волнового пакета неустановившиеся длинные волны
распространяются со скоростями ±]Ag/j0, но (опять предполагая, что С0 и
Vgho достаточно хорошо разделены) среднее течение и средняя высота,
сопутствующие волновому пакету, даются равенствами (16.99).
Неустановившиеся волны, возникающие за движущимся в воде препятствием,
подробно изучены Бенджаменом [2].
16.10. Глубокая вода
Для глубокой воды, когда kh0 1, индуцированные изменения параметров h и Р
пренебрежимо малы. Этого следовало ожидать заранее, но зто подтверждается
и явно формулами (16.99). Усредненный лагранжиан (16.73) принимает вид
Xw=i (-S'-1) Е~Т^+°(Е3)- (16.100)
Взаимодействие между средним течением и волнами, описываемыми
лагранжианом Xw, отсутствует. Что касается волн, то можно работать
исключительно с лагранжианом Xw. Он согласуется с простым выражением из
предыдущих задач, где псевдочастоты ше возникали и со, к, Е были
единственными волновыми параметра-
16.11. Устойчивость волн Стокса
539
ми. Дисперсионное соотношение ХЕ = 0 имеет вид
&=gk (l+-^+...)==gfc(l+Jft"a+...), (16.101)
что согласуется с предыдущими результатами. Уравнения модуляций для Е и к
даются равенствами (16.77).
Для заданного потока со скоростью U0 предыдущие доводы относятся скорее к
р - U0, чем к самому параметру Р, и в пределе глубокой воды усредненный
лагранжиан Xw модифицируется:
Zw=y (16.102)
16.11. Устойчивость волн Стокса
Для волн на глубокой воде применима простая теория § 14.2. Согласно
(16.101), имеем
"о (к) = (gk)m, со2 (к) = 1 (gk)l/2k.
Величина со'0со2 < 0 и, следовательно, модуляции со временем растут. Для
конечной глубины становится важной связь с индуцированным средним
течением, носящая стабилизирующий характер.
Устойчивость определяется типом полной системы уравнений
(16.91) - (16.92), которая является системой четвертого порядка для
неизвестных функций к, Е, Р, h. Тип в свою очередь определяется
характеристиками. Характеристические скорости можно найти
непосредственными вычислениями, но последние довольно громоздки.
Анализ можно упростить и придать ему более выразительную форму, разбив
переменные на две части. Прежде всего формулы (16.99) с достаточной
точностью выражают h и р через Е. В то же время этот первый шаг дает
величины двух характеристических скоростей, а именно ± Vgh0. Теперь
выражения для h и р можно подставить в уравнения (16.91) для к и Е и
определить две остальные характеристические скорости.
Считая, что b = h - hQ и р имеют порядок О (Е), дисперсионное соотношение
(16.80) можно аппроксимировать равенством
I j" , j /у- 1 \ Ь - 9Г1 - ЮН+9 к2Е ,
CO^COo+fcP + fc (Со --Со)- + 8Гз -+ 0(?2).
В силу (16.99), это дает
со = о"о (к) + Q2 (к) + О (Е2), (16.103)
где
о 97'о - Ю7'о + 9 1 ( (2C0-V2Co)2 , ,1
2 щ kho \ gho-a + ; ¦
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
540
Поскольку Ъ и р исключены, мы теперь имеем для к и Е простые уравнения
модуляций рассмотренного в § 14.2 типа и можем выписать
характеристические скорости без дальнейших выкладок! Искомые
характеристические скорости равны
С0±(^^)1/2. (16.104)
Здесь о"0 = (gk th kh0) О2 и а>" всегда отрицательна. Таким образом,
характеристики являются мнимыми при Q2 > 0 и вещественными при Q2 < 0.
Формула для Q2 ясно указывает на стабилизирующий эффект среднего течения
по мере убывания величины kh0 от предела глубокой воды. Критическое
значение определяется величиной kh0, для которой Q2 = 0. Это значение
было найдено численно и оказалось равным kh0 = 1,36. При kh0 > 1,36
модуляции растут; при kh0 < 1,36 они распространяются типичным
гиперболическим образом.
Неустойчивость для волн на глубокой воде впервые была установлена
Бенджаменом [1] х) при помощи рядов Фурье, указанных в § 15.6. Именно
тогда была понята важность эллиптических уравнений модуляций и было
выведено критическое значение kh0 = = 1,36 для случая конечной глубины.
Это значение затем было подтверждено Бенджаменом с помощью его фурье-
