Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Инвариант Римана Характеристическая скорость
1 d T7 iaK
g-j-r P = U -
r+p Q = l7-
P+q
sW
4a (1 - s2) К s2 (K-D)
4a (1- s2) К s2 (s2t)- K)
16.15. Характеристические уравнения
547
В общем случае скорости Р, Q, R различны, причем Р <Z Q <С < R. Таким
образом, система является гиперболической. Оба предела s2 -0 и s2 -1 дают
особенность в том смысле, что две из скоростей становятся равными.
Предельные уравнения не будут строго гиперболическими, но поскольку одно
из них отщепляется, их все еще можно решать интегрированием вдоль
характеристик. С этой ситуацией мы уже встречались ранее в линейной
теории, соответствующей пределу s2 -0.
Случай малой амплитуды
В пределе а -*¦ 0, s2 -0, сохраняя волновое число А, определенное
формулой (16.129), конечным и ненулевым, имеем
2 а1'2 8 к '
Вычисление пределов при s2 0 дает
P,Q 6р - ЗА2, R 6р.
В линейной теории изменениями параметра Р можно пренебречь, так что
линейная групповая скорость -ЗА2 будет двойной
характеристической скоростью. С поправками следующего порядка, т. е. в
почти линейной теории, найдем
P~6p-3A2-3a + 0(-g-),
Q~ 6p-3A2 + 3a+<?(-g-), (16.131)
fl~<sp+o(-?i).
В соответствующем приближении исходные уравнения имеют вид
Pf + 6pp*+[f я2]х = 0,
А<+(брА-А3+[-|-^-])^0, (16.132)-
(a2)t + {(6p -ЗА2)а2}* + 6а2р, = 0. :
Члены в квадратных скобках являются почти линейными попран-ками к
линейной теории. В линейной теории уравнение для Р отщепляется и его
можно решить независимо; оно дает характеристическую скорость R =' 6 р.
Как правило, однако, подходит решение Р = 0, и мы имеем обычные уравнения
модуляций для а и А. Почти линейные поправки приводят к важным
качественный изменениям, делающим систему, строго гиперболической и
расщепляющим оставшиеся групповые скорости.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории
548
Решающее значение имеет модификация уравнения для р. Если бы вводилась
только поправка к частоте (во втором уравнении), ТО система двух
уравнений имела бы мнимые характеристики и случай представлялся бы
неустойчивым. В обозначениях § 14.2 имеем ю0 = - к3, ю2 = 3/2 к, <Г 0.
Но наличие связи с Р
стабилизирует модуляции, и полная система оказывается гиперболической.
Можно было бы просто найти характеристики системы (16.132) и проверить
формулы (16.131), но опять целесообразнее использовать подход, развитый в
§ 16.11. Если параметр Р полностью индуцирован волновым движением, то
можно использовать второе и третье уравнения системы (16.132) и показать
в низшем порядке, что (а2)х = (a2/(3kz))t. Тогда, в силу первого
уравнения,
После подстановки зтого выражения во второе уравнение находим эффективное
изменение частоты
Теперь уравнения для а и к являются гиперболическими, а
характеристические скорости равны -3/с2 + За, что согласуется с формулами
(16.131).
В другом пределе s2 1 волновой пакет переходит в последовательность волн,
близких к уединенным. В этом случае К и В имеют асимптотику
В пределе уединенных волн естественно считать амплитуду равной высоте от
подошвы до гребня и волновое число определить как число волн на единицу
длины (а не число волн на длину 2я). В соответствии с этим
16.16. Последовательность уединенных волн
Я = Л + 0(1-*2), D = A~0(i-s2), А = In ---^гщ- •
(1 -S )
и, в силу (16.129), имеем
(16.133)
16.16. Последовательность уединенных волн
549
Ошибки порядка 1 - s2 экспоненциально малы, и мы ограничимся членами
порядка (2а1)1/2/к1. Тогда
g = r + tf{exp(-T^)}, С==Я + °{ехР(-^Г")}-
В почти линейном пределе изменения параметра {5 переносятся в основном по
быстрейшей характеристике (со скоростью Л), а параметры а и к переносятся
в основном по двум более медленным. Наоборот, в данном пределе Р
переносится в основном по самой медленной характеристике (Р), а а1 и kt
распространяются быстрее. В головной области можно интегрировать вдоль Р-
характеристики и получить, что величина q + г остается равной своему
первоначальному значению. Но в этом пределе q ~ г всюду, так что q и г по
отдельности также остаются равными своим первоначальным значениям. В
обычной нормировке q = г = 0; следовательно, они и остаются нулевыми.
Тогда из (16.134) имеем
Р ~ ai> <ЛГ ~ 0, U ~ 2а1} Q,R ~ 2аг.
Соответствующие приближенные уравнения, как можно показать, имеют вид
В этом приближении система не является строго гиперболической, но можно
сначала интегрированием вдоль характеристик dxldt = = 2ах найти аг, а
затем интегрированием вдоль этих же характеристик найти кг. Такая
структура аналогична структуре, имевшей место в линейной теории. Однако
на этот раз аг остается постоянной на характеристиках, а кг убывает как 1
It.
Как и в случае линейного предела, следующий за (16.137) -
(16.138) порядок приближения модифицирует структуру уравнений;
характеристики разделяются, и система становится строго гиперболической.
Уравнения (16.138) стали теперь настолько простыми, что можно
предположить, что существует их прямой вывод, не требующий
р ~ Р + Щ- 2/с4 (2щ)1/2, q, г ~ Р - 2kt (2щ)^2, U ~ бр + 2щ -12kt
