Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
К2 + (2р - Й) К + р (р - 2Й) = 0. (15.63)
Малые возмущения амплитуд боковых частот растут, если корни уравнения
(15.63) комплексны, т. е. если
(р+"-)й<0. (15.64)
Для нашего конкретного примера со0 = (х2 + 1)1/2, со" = со~3, так что
(15.64) приводит к условию
{^аа1+-?щ-) <°-
Данный результат согласуется с (15.39) и (15.40), если при сопоставлении
положить р = ер. При сг > 0 амплитуды боковых частот всегда остаются
малыми. При а < 0 имеется неустойчивость
15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия
511
в области
|т2<6 | ст |содв(r).
Опять это неустойчивость по линейному приближению; нелинейные уравнения
(15.58) - (15.59) сохраняют суммарную энергию. Это согласуется с
предположением, что окончательным результатом является решение с
конечными амплитудными осцилляциями.
Должно быть достаточно ясно, что предыдущий анализ, хотя и проведенный на
конкретном примере, имеет общий характер. Действительно, из (15.61)
видно, что р всегда является поправкой Стокса к частоте, обозначенной в §
14.2 через ы2а2. Выражение (15.62) для Q имеет общий вид. Таким образом,
критерий (15.64) можно записать в виде
( ы2а2 oy i 2 ) со"|12 < 0.
Это выражение следует сравнить с радикалом в характеристической скорости
(14.21); дополнительный член с ц2 связан с дисперсионными эффектами
высшего порядка.
Подходы, основанные на взаимодействиях и модуляциях, можно сопоставить,
заметив, что модуляцию к = кЛ) + /с(1>, а - = а(0) + а(1), использованную
при выводе (15.39), можно аппроксимировать следующими разложениями:
Ф = - {а(0) + а(1>) ехр i (0<о> -(- 0(1>} 4-
+ комплексно сопряженное выражение ~
~ Y "<0) ехр i0(O) -тг а<1> ехР i6<0) + у г0(1>"<О) ехр i0(O> -J-
4-комплексно сопряженное выражение. (15.65) Если теперь для основного
волнового пакета положить а(0> = а0, 0<О) = щх - (со0 -j- р) t
и выразить возмущения а(1), 0(1) через соответствующие линейные
комбинации экспонент e±itXK, то получится описание в терминах боковых
частот.
Теория взаимодействий оказывается эффективной только в почти линейном
случае и только для модуляций, содержащих конечное число фурье-компонент.
Даже в этом случае выкладки оказываются значительно сложнее, чем в
модуляционном подходе. Их можно до некоторой степени упростить, снова
обратившись к вариационному принципу. Если в лагранжиан подставить
выражение
1 VI л t,\
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
512
то все члены, за исключением резонансных, будут осциллировать по х.
Исключив их усреднением, можно при помощи вариационного принципа получить
уравнения для Ап. В простейших случаях, подобных рассмотренному выше,
упрощение не очень велико. Довольно легко получаем усредненный лагранжиан
?N >[ • • • •
= шпАпАп -{- iconA.nA.f^
- -Ж { 6 S А*А*2 + 24 2 2 АтА*тАПА*п} -
тфп
- ^ {\.2А1А%А*_е(tm) +12 А*2А+А-е~т}, (15.66)
где суммирования проводятся по А0, А+, А _. Но дальнейший анализ
вариационных уравнений, по существу, таков же. Главное преимущество
данной формы записи лагранжиана заключается в каноничности формы.
Теория взаимодействий не ограничена "соседними" волновыми числами. При
достаточно общих дисперсионных соотношениях можно рассматривать
резонансы, удовлетворяющие равенству
(15.56), для сильно отличающихся волновых чисел xv. В этом случае
существует значительный обмен энергией между различными модами. Такие
случаи исследовал Филлипс [1], который приводит и ссылки на другие
работы. Иллюстративный пример можно найти в нелинейной оптике (см. §
16.5). Этот тип взаимодействия между сильно отличающимися волновыми
числами тесно связан с многофазовыми решениями, указанными в § 14.9.
Глава 16
ПРИЛОЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Нелинейная оптика 16.1. Основные идеи
Одной из наиболее интересных для изучения нелинейных дисперсионных
эффектов областей является нелинейная оптика. Теоретические идеи здесь
естественно связываются с результатами экспериментов и используются при
конструировании физических приборов. Теория модуляций дает естественный
подход к ряду явлений, в силу высоких частот и волновых чисел основных
волновых пакетов. Этим способом изучаются самофокусировка и устойчивость
пучков. Нелинейные взаимодействия, приводящие к возникновению и усилению
суммарных и разностных частот, имеют важное значение и наглядно
демонстрируются изменением цвета лазерного луча при его прохождении через
нелинейный кристалл. Эксперименты, по-видимому, легче осуществляются и
точнее контролируются, чем это возможно, например, для волн на воде, где
из-за многочисленности мод движения жидкости трудно выделить конкретные
желаемые эффекты.
Простейшие формулировки теории очень близки к анализу уравнения Клейна -
Гордона, и результаты можно получить по аналогии с этим случаем. Мы
начнем с классической модели, в которой электрическая поляризация среды
обусловлена смещением связанных электронов электрическим полем. В
дальнейшем полученные результаты можно будет интерпретировать более
широким образом. Рассмотрим основной одномерный волновой пакет и будем
