Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 171

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 215 >> Следующая

(15.1), поскольку после дифференцирования по t и т это уравнение дает
- XaA^tt + ^kA^tx + ^AA-^t = О,
- %e>A(r)tx + %hA(r)xx + ^ААЛХ - 0.
Тогда уравнение второго порядка для G принимает вид
p6tt - 2rQtx + фхх = 0, (15.6)
где
р = Ха<_о^АА -
Ч = ^kk^AA XhAi
V =¦ XafoXАА <oa^kA*
Из уравнения (15.1) можно найти А как функцию от Gt и 0Л., и тогда (15.6)
можно рассматривать как квазилинейное уравнение второго порядка для 0.
Его характеристики определяются уравнением
dx -г + ф^г2-pq
dt р
В линейном случае
Х = Р(щ к) А,
Р = ~Р2т q = -Pi, г = -PaPh, и имеем двойную характеристическую скорость
dx ___ Ръ
dt Ра *
в точности совпадающую с линейной групповой скоростью. Почти
линейные результаты можно получить аналогичным образом.
Если отказаться от симметрии между х и t, то одна из полезных
возможностей - выбрать в качестве зависимых переменных к и / = Ха и
считать, что Соотношения
I = хт J = -хкш хА = о
15.2. Характеристическая форма уравнений
495.
разрешены относительно функций
со (к, I), J (к, /), А (к, /).
Тогда X можно также представить как
<М (к, I) = X {со (к, /), к, А (к, /)}.
Имеем
о#?, = соhI - /, q/Uj --- со7/; (15.7)
отсюда, в силу a'IlkI --- е//1й, получаем
со = /z. (15.8)
Система уравнений (15.1) - (15.3) сводится к следующей:
к* -J- (Di,kx -4- coj/,. - О,
т I т \ т г. п (15-9)
It + Mhlx ~Г J hkx - 9.
Характеристические уравнения дают, что
VThdk±V^idI = 0 (15.10)
на кривой
-g- = C0ft±/^. (15.11)
Такой выбор переменных сохраняет гораздо более тесную связь
с предыдущими обсуждениями линейного и почти линейного случаев.
В линейном случае X = Р (со, к) А и дисперсионное соотношение Р (со, к) -
0 дает
со = со о (к)\
поэтому
/=-РйЛ=-^- = соЛА)/.
-* СО
Поскольку coj = 0, обе характеристические скорости (15.11) сводятся к со'
(к). Система, как отмечалось выше, не строго гиперболическая, поскольку
имеется только одна дифференциальная форма dk = 0, соответствующая
соотношению (15.10). Однако после того, как к (х, t) найдено, переменная
I находится интегрированием уравнения
It Л- (о0 (к) 7ft + co0 (к) 1кх = 0
вдоль тех же самых характеристик.
В почти линейном случае с лагранжианом X, заданным равенством (15.4),
имеем
X_д ~ Р (со, к) -J- 2Р2 (а>) к) А ... =0,
I - Ха, = Ра, (со, к) А -}- . . ., J = - Xh ~ -Ph ((r), к) А-\- ... "
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
496
(15.12)
Из этих уравнений можно получить
со = со о (к) -f- со 2 (к) /-(-...,
J = со0 (к) J +. . ..
Характеристические скорости (15.11) имеют вид
^^^{к)±У^{к)щ(к)1 + .... (15.13)
Это согласуется с (15.5), поскольку, если I = g (к) а2, то со = со0 (&) +
со2 (к) а2 + . . .,
где
СО2 (к) = g (к) со2 {к)
и (15.13) переходит в (15.5).
Хейз [2] отмечает, что если одновременно с к и I ввести частичное
преобразование Гамильтона
SS{k, 1) = ыХа-? = ы1-?, (15.14)
то получим
J = SSh, СО = тх. (15.15)
Это можно увидеть также из соотношений (15.7), положив <М = = со/ - S8-
Уравнения принимают вид
§ + = 0.
Характеристическими уравнениями являются
УЩл dk ± У~Шй dl = 0,
^=т1к±.уз#к
(15.16)
(15.17)
В частных случаях для получения наиболее простых выражений иногда полезно
выбирать другие переменные. Например, для уравнения Клейна - Гордона,
согласно (14.26), имеем
X = (со2 - М) - А,
\ ' (15.18)
и оказывается, что наиболее удобными переменными являются фазовая
скорость V = со /к и А. Согласно дисперсионному соотношению ХА = 0,
к___________1__________________________Ч._______
(?-2-1)1/2 F' (А) ' (U2-1)1/2 F' (Л) '
15.3. Тип уравнений и устойчивость
497
и уравнения (15.2) и (15.3) переходят в следующие:
Характеристические уравнения записываются так:
(15.19)
dx _ 1 ± и ( - FF"/F,2)1/2 dt ~ U±( - FF"/F'Z)112
(15.20)
Случай нескольких зависимых переменных
Когда имеется несколько зависимых переменных и несколько уравнений, как в
(14.70) - (14.73), число характеристик увеличивается в соответствии с
порядком системы. Дополнительные характеристики связаны с нелинейным
взаимодействием волнового пакета с изменениями средних значений фоновых
переменных и не имеют ничего общего с линейной групповой скоростью.
Формулы для тех двух скоростей (ассоциированных прежде всего с
распространением к и А), которые соответствуют линейной групповой
скорости, значительно изменяются. В частности, в этих случаях тип
уравнений может измениться, если какая-либо дополнительная зависимость
осталась незамеченной и были использованы приведенные выше упрощенные
формулы. Общие формулы для характеристик выводить не будем, поскольку
наиболее целесообразный выбор переменных существенно зависят от
конкретной задачи. Типичными примерами служат рассматриваемые ниже
уравнения Кортевега - де Фриза и волны Стокса на воде конечной глубины.
15.3. Тип уравнений и устойчивость
Тип уравнений определяется тем, являются характеристики вещественными или
мнимыми. Условие гиперболичности системы можно записать в следующих
эквивалентных формах:
rz-pq>0, u>jJh > 0, S8hh&gи >0; ¦ (15.21)
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed