Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
второе выражение ближе всего по форме к почти линейному условию toaK"o >
Если знаки неравенств противоположны, то система является эллиптической.
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
498
Как было указано в § 14.2, периодические волновые пакеты в определенном
смысле неустойчивы, когда уравнения модуляций эллиптические. Чтобы
убедиться в этом, заметим, что уравнения модуляций имеют следующий общий
вид:
В однородном периодическом волновом пакете и принимает постоянное
значение, скажем и(0). Для малых возмущений полагаем u = u(0) + ull).
Линеаризованные уравнения для и(1) таковы:
Возможные значения С являются характеристическими скоростями,
вычисленными для и = и(0) (см. (5.12)). Если среди этих значений С
имеются комплексные, то соответствующие решения и(1) экспоненциально
растут со временем. Конечно, как и в более простом линейном анализе
устойчивости, это указывает только на то, что могут возникнуть
значительные отклонения от однородного состояния, и волновой пакет
необязательно становится хаотическим. В настоящем контексте устойчивость
и возможные конечные состояния существенно зависят от членов высших
порядков модуляционного приближения, как это будет показано в § 15.5.
В случае нелинейного уравнения Клейна - Гордона, согласно
(15.20), для волновых пакетов, удовлетворяющих условиям (14.6) с F (А) >
0, имеем
В частности, когда V (4Д = 1/2 4/2 + сОР4, система гиперболическая при а
> 0 и эллиптическая при а <; 0. Для любой четной функции V (40 первые
члены почти линейного разложения можно представить в таком виде, и тип
аналогичным образом зависит от знака коэффициента п.
Для уравнения Sin-Гордона потенциал V (40 - 1 - cos 40 и можно показать,
что F" (А) > 0, так что периодические волновые пакеты неустойчивы. Этот
результат применим к осцилляциям около состояния 4Г = 0, удовлетворяющего
условиям (14.6). В дальнейшем мы отметим существование спиральных
волновых пакетов, в которых 4Г монотонно возрастает или убывает. Они
dui
dt
duj
+""(") li-=0.
(15.22)
Эта система имеет решения
Ц(1) СО
причем
|ад>-С6"|=0.
(15.23)
гиперболический тип: F" <С 0,
эллиптический тип: F" > 0.
(15.24)
15.4. Нелинейная групповая скорость
499
дают периодические решения, поскольку то же самое физическое состояние
восстанавливается после каждого изменения на 2п. Эти решения оказываются
устойчивыми в рассмотренном здесь смысле.
15.4. Нелинейная групповая скорость, групповое расщепление, ударные волны
В гиперболическом случае характеристические скорости используются для
определения нелинейных групповых скоростей. Это естественное обобщение
линейного случая. Расщепление двойной характеристической скорости
линейной теории на две различные скорости, возможно, является наиболее
важным и далеко идущим
Рис. 15.1. Групповое расщепление.
1 - простая волна на характеристике С 2 - простая волна на характеристике
С+, 3 - область взаимодействия.
результатом данной теории. Как было указано в § 14.2, это предсказывает
неизбежное расщепление модуляций конечных размеров на два независимых
возмущения - результат, существенно отличающийся от линейной теории.
В задачах, в которых линейная групповая скорость положительна, обе
нелинейные групповые скорости обычно будут также положительны. Тогда
модуляции, вносимые расположенным в начале координат источником, будут
распространяться по обоим семействам характеристик, как показано на рис.
15.1. В идеале будем считать, что источник, расположенный в точке х = 0,
генерирует сильно нелинейный волновой пакет вплоть до t = 0, затем он
модулирует амплитуду и частоту в течение конечного интервала времени ?0,
после чего опять возвращается к генерации исходного волнового пакета.
Заметим, что в точке х - 0 следует наложить
Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии
500
два граничных условия, так что можно ввести независимые распределения для
амплитуды а и частоты со. Согласно обычным рассуждениям части I, будет
существовать определенный период взаимодействия, но впоследствии
возмущение разделится на две простые волны, распространяющиеся вдоль С+-
и С.-характеристик, как показано на рис. 15.1. Это аналогично задаче
Римана е условиями на характеристиках (см. § 6.12).
Можно оценить расстояние до точки разделения через разность
характеристических скоростей. Имеем
~ ~ с+с- ,
И)"
С+ - С_
где С± - типичные значения характеристических скоростей, a t0 - время, в
течение которого источник производит модуляции. Скорости почти линейной
теории (15.5) дают оценку сверху
-т/2" (15.25)
2а (согСОо) ' '
Было бы чрезвычайно ценным иметь экспериментальное свидетельство такого
разделения, поскольку оно имеет фундаментальное значение для проверки
теории модуляций. Другие родственные нелинейные эффекты наблюдались в
нелинейной оптике, но этот, по-видимому, еще не обнаружен.
Простые волны, образующиеся таким образом, как указано выше, или как-либо
иначе, можно найти аналитически, используя ¦стандартные методы части I.
