Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы должны объяснить, как эта любопытная формулировка позволяет
вычислить и (х, t).
Метод опирается на утверждение, что рассеивающий потенциал и в (17.33)
можно построить, зная коэффициент отражения для волн, приходящих из х = +
оо, и располагая некоторой информацией о точечном спектре. Это обратная
задача рассеяния; в первоначальной постановке задача состояла в
определении неизвестного рассеивателя по его отражательным свойствам. В
данном контексте необходимая информация о решениях ф определяется не из
эксперимента, а из второго уравнения (17.34). Для определенности
рассмотрим задачу о нахождении и (х, t), f > 0 по заданной функции и (х,
0). Процедура состоит в следующем. Для данной функции и (х, 0) сначала
решаем задачу на собственные значения (17.33) и определяем дискретные
собственные значения р = гк", соответствующие собственные функции фп и
коэффициент отражения Р для падающих волн. Собственные функции
Гл. 17. Точные решения
562
можно выбрать в виде
(X) = % (iy-m X),
где % конкретизируется условием (17.32); кроме того, вводятся
нормировочные коэффициенты
Уп:
{ [ фп dx |
Рассмотрим теперь коэффициент отражения р. Пусть У -решение уравнения
(17.33) с начальным распределением и (х, 0), имеющее следующее поведение
на ±оо:
иг/, ч f e-ite + p(k)eihx, х-^ + оо,
У (к, х) ~ (
( а(к) e~lkx, х-"-оо,
где к - положительное число: Отсюда определяются коэффициент отражения р
(к) и коэффициент прохождения а (к). В этом состоит прямая задача
рассеяния: найти уп и Р (к) для данного потенциала и (х, 0). Обратная
задача состоит в определении и {х, 0) по известным уп и Р (к).
Обратимся теперь к эволюции этих решений во времени. Мы знаем, что
величины у.п остаются неизменными. В силу (17.34) и (17.33), имеем
j %2dx = [ - 2хх*ж + 4х! + 6Р2Х21^- 8ip,3 j %2dx.
Для собственных функций р = тп и фп (х, t) = % (х, t, ixn) -> 0 при х -±
сю; следовательно, нормировочные коэффициенты равны
Решение У (к, х, f) задачи рассеяния будет вести себя как
У (к, х, t) ~ / (Л, t)e~lhx -|- g (к, t)elhx, ж->- оо,
причем это выражение должно быть асимптотическим решением уравнения
(17.34) с р, = к. Подстановка убеждает, что
/(к, f) = e-8ife3<, g(k, i) = P*
Коэффициент отражения равен
ь(к> ъ=1Ш^{к)еЫкЪ1-
17.3. Обратная задача рассеяния
563
Обратная теория рассеяния позволяет восстановить и (ж, t) по "п, cn(t),
b{k,t).
Короче говоря, прямая задача рассеяния для и (х, 0) определяет у.п, сп
(0), Ъ (к, 0); уравнение (17.34) определяет эволюцию во времени; обратная
задача определяет по этим величинам и (х, t).
Основная трудность, несомненно, состоит в решении обратной задачи. Это
позволяет сделать известная статья Гельфанда и Левитана [1] и ее
различные обобщения. Их статья написана в терминах определения
рассеивающего потенциала и по спектральной функции р (X), имеющей разрывы
со скачками сп в дискретных собственных значениях к = - х2 и непрерывный
спектр 0 < к < < оо, связанный с Ь. Кэй и Мозес [1], а также Марченко [1]
разработали непосредственный способ восстановления и (х, t) по хп, сп, Ь;
исчерпывающий обзор дан Фаддеевым [1]. Результат состоит в том, что
u(x,t)=-2 К (х, х, t), (17.35)
где функция К (х, у, t) удовлетворяет линейному интегральному уравнению
K(x,y,t) + B (x + y,t) + j К(х, z, t)B(z + y, l)dz = 0, y>x,
(17.36)
в котором
B(x + y, t) = 2 СпМехр{-к"(ж + ^)} +
j b{k, t) exp {ik (x + y)} dk -
= 2 Vnexp{ -(ж + у) + 8х^} +
+-^7 j P (&) exp {ik (a: + y) + 8ik?t} dk\ (17.37)
начальная функция и (x, 0) определяет соответствующие параметры х", уп, р
(к).
Вывод соотношений (17.35) - (17.37) с помощью спектрального подхода
требует более глубокого рассмотрения, чем здесь уместно. Но Баланис [1]
показал х), что, по крайней мере формально,
*) Этот подход хорошо известен в теории рассеяния. Обобщения, включающие
некоторые многомерные задачи, можно найти в работе В. Е. Захарова и А. Б.
Шабата, Функц. анализ и его приложения, 8 (1974), вып. 3, 43-53.- Прим.
ред.
Гл. 17. Точные решения
564
результаты можно получить, работая с "неприведенным" уравнением (17.28) и
восстанавливая потенциал и (х, t) по его отражающим свойствам для
падающей волны типа S-функции, а не для падающей периодической волны. По
существу идея состоит в том, что работать следует во временной области, а
не в частотной. Этот подход к обратной задаче рассеяния позволяет до
некоторой степени упростить изложение метода.
Альтернативная версия
Будем считать уравнения (17.83) и (17.34) преобразованиями Фурье
уравнений
Фюс - фтт - Иф = 0,
ф/ "Ь фжжж Зифж "Ь ЗфХТТ 4фххх = 0, связывающих функцию и (х; t) с
функцией ф (х, т; t), где
ср(аг, т; t)- ^ ф(я, ц; t)eiiixd\i.
Эту систему уравнений можно записать более симметрично:
Мф == фжж - фхх - пф = 0, (17.38)
Ncp == (pt -f 53ф - Зидср = 0; (17.39)
при этом
Элементарные выкладки показывают, что
(NM - MN) ф = - (щ - (эиих + Па-а-^ф + ЗихМср.
Следовательно, из уравнений (17.38)-(17.39) следует уравнение Кортевега -
