Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вид, не считая даже его первоначальной связи с релятивистскими частицами
через уравнение Клейна - Гордона. Ряд задач, в которых соответствующий
нелинейный член равен sintp, был указан в § 14.1.
Сразу же после решения Коулом и Хопфом уравнения Бюргер-са начались
бесчисленные попытки применить аналогичные приемы к уравнению (17.1), но
окончательный метод решения потребовал большего, нежели простой замены.
Гарднер, Грин, Крускал и Миура 11] разработали остроумный способ,
связывающий это уравнение с обратной задачей рассеяния. Конечный
результат состоит в сведении уравнения (17.1) к линейному интегральному
уравнению, но кажется невероятным, чтобы кто-нибудь смог обнаружить зто
без промежуточных шагов. Зная ответ, можно увидеть, что подстановка
от] = 12 (In F)xx, (17.6)
являющаяся разумным обобщением подстановки с = - 2v (In ф)ж
для уравнения Бюргерса, дает легкий способ получения частных решений,
описывающих взаимодействие уединенных волн. Уравнение для F нелинейно, но
имеет специальную структуру, и решения в виде ряда по экспонентам
приводят к уединенным волнам. Однако не ясно, как из этого уравнения для
F извлечь более общую информацию.
Уравнение (17.2) было решено Захаровым и Шабатом [1] при помощи
аналогичной техники обратной задачи рассеяния, связанной до некоторой
степени с общими идеями Лакса [1].
Явное решение уравнения (17.3) для двух взаимодействующих уединенных волн
впервые было получено Перрингом и Скирмом [1], видимо, на основе
численного анализа. Дж. Лэмб [1, 2] затем нашел, как, последовательно
используя преобразование Беклунда, можно получить дальнейшие решения.
Недавно Дж. Лэмб [3], а также Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегюр [1] показали,
как можно использовать обратную задачу рассеяния.
Удивительный общий результат состоит в том, что если уединенные волны,
первоначально разделенные в пространстве, вступают во взаимодействие, то
со временем они выходят из области взаимодействия и восстанавливают свои
исходные формы и скорости. Единственным напоминанием о взаимодействии
являются постоянные смещения от положений, которые они занимали бы
Гл. 17. Точные решения
554
в противном случае. Интересна аналогия со столкновением частиц. Основные
решения и методы их получения будут описаны ниже.
Мы добавим два связанных с этими идеями примера. Тода [1,2] рассматривает
цепочку из соединенных пружинами точечных масс, являющуюся дискретным
аналогом некоторых из наших задач. Если растяжение п-й пружины
относительно ее равновесной длины равно rn (t), то уравнения можно
записать в виде
тгп = 2/ (г") - / (гп+1) - / (г*.,), (17.7)
где / (г*) - сила натяжения г-й пружины. Непрерывным пределом этого
разностного уравнения будет волновое уравнение, причем нелинейное, если
/ (г) нелинейная функция от г. В нелинейном случае
существование решений уравнений (17.7) в виде
однородных волновых пакетов можно доказать, основываясь на разложениях
типа Стокса по степеням амплитуды. Но Тода обнаружил хитроумные точные
выражения в эллиптических функциях для случая
/ (г) = - а (1 - е~&). (17.8)
Более того, эти решения содержат уединенные волны как предельные случаи,
и Тода смог найти решения, описывающие взаимодействия и подобные
соответствующим решениям уравнений с частными производными.
Наконец, уравнение
(1 - + 2(px(ft4>xt - (1 + ф!)ф" = 0 (17.9)
было предложено Борном и Инфельдом [1] в виде вариационного принципа
б f { (1 -ф< +ф?}Шdxdtr=Q. (17.10)
Идея состояла в обобщении обычного волнового уравнения (с лагранжианом V2
- 72 ф4) и во введении нелинейных эффектов с сохранением свойств
лоренцевой инвариантности. Это уравнение допускает волны произвольной
формы, движущиеся со скоростями +1 или -1. Их можно было бы рассматривать
как уединенные волны, если бы не отсутствие у них специфической
внутренней структуры, характерной для предыдущих случаев. Однако Бар-
башов и Черников [1] показали, что можно найти явные решения, описывающие
взаимодействия, опять со свойствами сохранения формы и со смещением
положения вследствие взаимодействия. Мы проводим краткое описание этих
решений, хотя, возможно, у них й нет глубокой связи с остальными
уравнениями.
17.2. Взаимодействующие уединенные волны
555
Уравнение Кортевега-де Фриза
17.2.
Взаимодействующие уединенные волны
Приведем сначала решения, которые можно получить при помощи
преобразования (17.6). Параметр с можно, конечно, исключить нормировкой
как из (17.1), так и из (17.6), но в литературе использовались различные
нормировки (отвечающие о = 1, а = 6, о = = -6), и имеет смысл оставить
этот параметр свободным для удобства сопоставления результатов. Вывод
уравнения (17.1) для волн на воде и его более общее значение как
длинноволнового приближения в других контекстах (см. соотношение (17.4))
были объяснены в § 13.11.
Переход от т] к F проще всего совершить в два этапа. Сначала положим т] =
рх и, проинтегрировав, получим уравнение
Pt+\ap% +рххх = 0.
После нелинейной замены
