Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ар = 12 (In F)x
получаются члены до четвертой степени функции F и ее производных
включительно, но специфическая черта данного преобразования состоит в
том, что в окончательном выражении члены третьей и четвертой степеней
выпадают. В результате получаем квадратичное уравнение
F (Ft + Fxxx)x - Fx (Ft + Fxxx) -|- 3 (Fxx - Fx Fxxx) - 0. (17.11)
Отметим появление характерного оператора
53
dxs
и некоторую симметричность уравнения. Возможная (но довольно натянутая)
мотивировка введенного преобразования связана с решением, которое
описывает уединенную волну и может быть представлено в виде
от] = За2 sech2 t Q = ax-аЧ, (17.12)
где а и 60 - параметры. Это производная по х от выражения
4th (т21)-1)'
Гл. 17. Точные решения
556
которое в свою очередь является производной по х от 12 In F, где
Этот "вывод" нацеливает на общее рабочее правило поиска точных решений в
этой области: рассматривать преобразования, которые переводят решения
типа уединенной волны в простые экспоненты. Для сравнения можно отметить,
что преобразование с = = -2v (In <f )x для уравнения Бюргерса переводит
решение (4.23), описывающее стационарную ударную волну, в
Ф = ехр (- сцз: -f- vaf t) -j- ехр (-а2х-\-ма\г), аг=-(17.14)
Чем бы мы ни руководствовались, сразу видно, что выражение
(17.13) является решением уравнения (17.11) при любых айв. Это решение
соответствует оператору
оно удовлетворяет уравнению Ft -f- Fxxx = 0, а третий член в (17.11)
обращается в нуль вследствие однородности по производным.
Если бы уравнение (17.11) было линейным, то мы могли бы строить линейные
комбинации таких решений с различными а и s, но, в силу нелинейности,
возникнут взаимодействующие члены. В обычном подходе теории
взаимодействий следовало бы положить
и т. д. Возьмем в качестве Е(1) два члена подобных (17.13):
FiU = h + h, ^ = ехр{-а}(х-8}) + аЩ, /=1,2. (17.15)
F = 1 + ехр { - (6-60)} =
= 1+ехр{ - а(х-s)-|-a3?}, s = -^. (17.13)
dt дх3 '
Для Е(2> получаем уравнение
{F't2) + ДтаДх = 3a,a2 (a2-а,)2 /,/2,
(17.16)
которое имеет решение
(17.17)
17.2. Взаимодействующие уединенные волны
557
Удивительно, что тогда во всех остальных уравнениях цепочки правые части
обращаются в нуль, и поэтому
F=l+/, + /s+|g5f/A <17.18)
является точным решением уравнения (17.11).
Отличительная черта этого решения состоит в том, что взаимодействующие
члены приводят в правой части уравнения (17.16) только к произведению
/х/2, а члены /f и /!, которых также можно было ожидать, отсутствуют.
Этот результат обобщается на высшие порядки, так что нелинейные члены в
уравнении никогда не приводят к произведениям функций / с повторяющимися
индексами. Так, при двух исходных членах, как в (17.15), необходимы лишь
комбинации /х, /2, /х/2 и мы имеем точное решение. Если начать с
N
^(1)= 2 /Л
j- 4
то Fi2> содержит все члены fjfh с / Ф к, но не содержит /|; /'<Я)
содержит все члены fjfi.fi с j Ф к Ф I, но не содержит fj или /]/;; и т.
д. Таким образом, последовательность обрывается на
F1' * 00 /1/2 ¦ • • /л7
(исчерпывающем все произведения без повторяющихся индексов), и существует
точное решение вида
F = 1 + 5] fj + S ajhfjfh + S ajhlfjfhfl + • • • + an ... N /1/2 • • • /-
V-
3 3^k 3
Это уже достаточно поразительно, однако можно еще показать, что решение
можно записать в виде
^=det||FmB||, (17.19)
где1)
I (17.20)
Этот результат впервые был обнаружен при более общем подходе,
который будет описан в следующем параграфе, но его можно про-
верить непосредственной подстановкой в (17.11) (см. Хирота [1]).
Решение с N модами fj описывает взаимодействие N уединенных волн.
Рассмотрим случай N = 2. Решение для F дается формулой (17.18), а
соответствующее выражение для rj, заданное фор-
*) Существует ряд эквивалентных выражений Fmn, приводящих к одному и тому
же окончательному выражению для тр
Гл. 17. Точные решения
558
мулой (17.6), имеет вид
g " _ К1 f 1 + Klf2 + 2 (К2 - К))2 flf2_|_
12 (1Ч- f 1 "Ь f 2 "Г {("2-"I )/(а2 + "))}2f if г)2
{(а2 - ai)/("2 + Ki)}2 ("Ifif2 + "i /l/i)
(1'+ /1 + h + {("2 - 00/(0* + CCl))2/lfг)2 * ^ '
где
fj = ехр {-aj (х- Sj) + аЩ.
Уединенную волну (17.12) можно записать через / в виде
-ПГЧ-етЖ' (Н-22)
где от] достигает максимума при / = 1. Отметим, что
максимум амплитуды от) = За2,
положение максимума = s + аН, (17.23)
скорость волны = а2.
Решение (17.21) близко к уединенной волне с параметром аг в областях
(ж, ^-плоскости, где ~ 1 и /2 либо велико, либо мало.
Чтобы проверить это, заметим следующее.
1. При U ~ 1, /2 < 1,
¦119 М -
.'12 - (l-h/i)2 •
2. При /i~l, /2> 1,
?_ п ~ {("2 - Kl)/("2 + Kl)}2 "1 f if 1 "1?!
12 ~ (/2+((a2 - ai)/(a2 + Ki)}2fi/2)2 (l + /i)2
0^2 "I- 0^1
Последнее выражение описывает уединенную волну а1; у которой параметр %
заменен на
"' = s'-^ln(-SSr)2' <17-24)
это отвечает конечному смещению профиля в х-направлении. Аналогично, там,
где /2 ~ 1, а /2 либо велико, либо мало, имеем уединенную волну а2 со
сдвигом (или без сдвига) у s2. Там, где /i~l и /2 ~ 1, находится область
