Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
него), так как это не влияет на окончательное выражение для и; In | Р |
преобразует их в аддитивные члены, линейные по х, которые исключаются
двукратным дифференцированием, фигурирующим в определении и.
Следовательно, если каждый столбец матрицы Р умножить на е*пХ, а каждую
строку - на ex",A, то получится эквивалентное выражение
которое согласуется с (17.20) при условии, что = 2хт, ут = (хт ехр
(ctmsm). Симметричная форма Р получается при
gm (х) = hm (х) = уУ2 ехр (-хтх + 4x3mt) и приводит к
1/.Э. Уединенные волны, образованные начальным распределением
произвольного вида
Для определения уединенных волн, образующихся из начального распределения
т) = т)0 (х), нужно всего лишь найти дискретные собственные значения
уравнения Шредингера
После выхода из области взаимодействия уединенная волна, соответствующая
к - - Хп, согласно формуле (17.12), имеет вид
-и = - &n sech2 (хпх-4>int + const), ап = 2х2. (17.45)
Приведем здесь несколько конкретных примеров, используя результаты
решения задачи на собственные значения, которые можно найти в большинстве
учебников по квантовой теории.
Р | 6mn +
Ут ехр (- 2у.,гх+8x?nt)
(17.44)
где
17.5. Произвольное начальное распределение
569
1. и0 (ж) = - Qb (х). Если Q > 0, то существует одно
собственное значение х = Q/2. Следовательно, образуется единствен-
ная уединенная волна. Амплитуда функции и в (17.45) равна Q2/2. Если Q <;
0, то дискретных собственных значений, а значит и уединенных волн, нет.
2. Прямоугольная яма. Если и0 (х) - прямоугольная яма ширины I и глубины
А, то собственные значения должны удовлетворять соотн- шениям (Ландау и
Лифшиц [2, стр. 90])
sin?=±-y-, tg?:'<0, (17.46)
или
cos? = ± -у , tg|>0, (17.47)
где
S ~Ai/zl, 1-^->0.
Число собственных значений определяется параметром S. Когда S возрастает,
что соответствует более сильным начальным возмущениям, число уединенных
волн растет. При любом S > 0 существует по крайней мере одно решение
задачи на собственные значения, так что всегда образуется хотя бы одна
уединенная волна. Для малых S существует решение уравнения (17.47) с
асимптотикой
a~±S4, 1.
При возрастании S вторая уединенная волна образуется, когда S достигает
я, а решением уравнения (17.46) является ? = я/2. При этом
= 0,934, х1 = 0,804А1/2, ^=1,30^, Л
Е2 = л;/2, х2 = 0, й2 = 0 J
Число уединенных волн N растет с увеличением S и выражается формулой
$
N = наибольшее целое число sC f- 1.
л
Зависимость S от А и I для прямоугольной ямы наводит на мысль, что вообще
величина
Z= J \ u\ll2dx
будет в этом случае своеобразной мерой возмущения и формы волн.
Действительно, если вычислить эту величину для одной
Гл. 17. Точные решения
570
уединенной волны (17.45), то параметр и сократится и получится Zs=\ |и
|i/2 dx = 2l/zn (17.48)
независимо от амплитуды. Следовательно, эта мера приписывает уединенной
волне единичный размер. Для цуга из N уединенных волн Z = 21/2яN. Итак,
обнаружена постоянная Планка для уединенных волн!
Параметр S равен величине этого интеграла для начального возмущения. Для
больших S, в силу предыдущих результатов, S ~ лN, так что при больших
значениях времени величина Z для цуга уединенных волн равна
Z = 21/*nN ~ 21/2S. (17.49)
Это указывает на тесную связь между начальным значепием S
и конечным значением Z. Но ясно также, что "действие" ( | и |1/2 dx
j
не сохраняется. Это верно и для малых S: всегда образуется хотя бы одна
уединенная волна, даже в том случае, когда S меньше величины,
определяемой из соотношения (17.48). Это следует, по-видимому,
интерпретировать как перекачку из непрерывной части спектра. Однако ниже
будет показано, что соотношение N ~5/я для больших S носит общий характер
и справедливо для начальных возмущений и0 (х), имеющих форму одиночной
потенциальной ямы, и величины S, определяемой формулой
5= J (17.50)
Для случая 8-функции из первого примера и0 можно считать пределом
выражения -Q (т/к)г 12е~тх2 при т -> со. Поэтому S ->¦ 0 при т -> оо;
образование только одной уединенной волны согласуется с результатами
других примеров.
3. и0 = - A sech2 х/l. В этом случае собственные значения составляют
(Ландау и Лифшиц [2, стр. 98))
*п = {(1 + 4Л Z2)1'2 - (2га -1)} ^ 0.
Для величины S, определяемой формулой (17.50), получаем S = я АУЧ.
Число уединенных волн находится из условия
N = наибольшее целое число { (l'+-^-)1/2+ 1 j .
17.5. Произвольное начальное распределение
571
Как и ранее, при малых S всегда образуется по крайней мере одна
уединенная волна и число таких волн растет с увеличением S', при S -у оо
снова имеем
л
и соотношение (17.49) выполняется.
4. Непрерывное распределение уединенных волн. Когда начальное
возмущение велико (S -у оо), существует много близко расположенных
собственных значений, удовлетворяющих правилу Бора - Зоммерфельда (Ландау
и Лифшиц [2, стр. 200])
р dx= ^ У к - u0(x)dx = 2n(n\ + Y) • (17.51)
Поэтому число уединенных волн (наибольшее значение п для X = 0)
составляет
N~±i \uo\mdx = ±. (17.52)
