Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть общее обоснование результата, полученпого в двух последних
примерах.
Наибольшее значение | X | для связанных состояний в (17.51) равно ит, где
ит = | и0 | тах, так что х лежит в интервале 0 < < х < нЛ2, а амплитуда -
в интервале
0 < а < 2ит (17.53)
(см. (17.45)). Число собственных значений, расположенных в интервале (Я,,
X -f- dX), приближенно составляет
1
dX.
Следовательно, число уединенных волн с амплитудами из интервала (а, а +
da) равно приблизительно / (a) da, где
f(a) = -±-& , dx ,= . (17.54)
8jt J VK|-"/2
Этот результат впервые указал Карпман (Карпман [1]; см. также Карпман и
Соколов [1]). Уединенные волны распределены в интервале 0 < а < 2um, и их
полное число подсчитывается по формуле
^итп °°
N- i f(a)da = ^ j |u0|112 dx,
о
которая согласуется с соотношением (17.52).
Гл. 17. Точные решения
572
После первоначального взаимодействия каждая уединенная волна с амплитудой
а движется со скоростью 2а, и ее можно найти в точке
х - 2at при t оо.
Таким образом, амплитуды распределяются по закону
а==1Г' 0<4g-<2um. (17.55)
Получается треугольное распределение, приведенное на рис. 17.1 и
обсуждавшееся в § 16.16.
Рис. 17.1. Серия уединенных волн в решении уравнения Кортевега - де
Фриза.
Число волн к (х, t) в интервале (х, х + dx) определяется из соотношения
kdx = / (a)da;
поэтому
<17-56>
где функция / задана формулой (17.54). Это фиксирует произвольную
функцию, входящую в соотношения (16.144).
17.6. Преобразование Миуры и уравнения сохранения
Построение метода нахождения точных решений уравнения Кортевега - де
Фриза во многом стимулировалось существованием бесконечного числа
уравнений сохранения. Одним из путей получения этих уравнений является
преобразование Миуры, имеющее и самостоятельный интерес. Результат
подстановки выражения
= "* + ""
(17.57)
17.6. Преобразование Миуры
573
в уравнение Кортевега-де Фриза можно записать так:
(2v+i) &-6у2у*+w***)=0 •
Следовательно, можно изучать также уравнение
vt - 6v2vx + vxxx = 0, (17.58)
связав его с уравнением Кортевега - де Фриза.
Модификация этого преобразования порождает бесконечное число законов
сохранения. Подстановка
от] = w + iewx -f е2гс2 (17.59)
дает
e2li'2) {"7 + (w +-g- е2ц^)
Пусть функция w удовлетворяет уравнению
т + ( w + еРи? ) и\ + wxxx = 0.
Тогда имеем следующее простое уравнение сохранения для ш:
+ шхх)ж=0. (17.60)
Если теперь записать решение уравнения (17.59) относительно w в виде
формального ряда по степеням е:
о
то для wn получаются рекуррентные формулы, в которые входят функция ? и
ее производные по х¦ Подставим это разложение в уравнение (17.60); тогда
каждый коэффициент при е" (п= 1,2,.. .) даст закон сохранения. Приведем
несколько первых сохраняющихся плотностей:
Т - Г2 - F3 Тг л- -
bi 2 3 4 g Ьхэс"
1 Тъ р.ггг2 _i_ Л(r). тт2 I г2
ъх ~Т~ ^ ЬЪхгс] ^5 'ээсзсэс*
Существование бесконечного числа сохраняющихся величин j wn(Qdx
определенно способствует уверенности в том, что решения можно найти в
явном виде.
Гл. 17. Точные решения
574
Кубическое уравнение Шредингера
17.7. Приложения кубического уравнения Шредингера
Связь уравнения
iut + ихх + v| и 12и = О
с приближенным описанием модулированных пучков в нелинейной оптике была
объяснена в § 16.4. Здесь мы отметим его общее значение для зависящих от
времени диспергирующих волн. Общее решение для линейной диспергирующей
моды имеет вид
j F {k)eihx-ie>(-kV dk, (17.61)
причем равенство ю = со (к) представляет собой дисперсионное соотношение.
Для модулированного волнового пакета с большей частью энергии,
сосредоточенной в гармониках с волновыми числами, близкими к некоторому
значению к0, функция F (к) сконцентрирована около к = к0, и интеграл
(17.61) можно аппроксимировать выражением
Ф= [ F (к) ехр (ikx - |co0+(&-к0) со' -(- (к-&0)2co"j t j dk,
где со0 = ("(/с0), w' = ю'(/с0), .... Это в свою очередь
можно запи-
сать в виде
Ф == ср ехр {i (к0х - ю0?)}> (17.62)
где
Ф=- ^ F{k0-\-y) ехр | ixx - i (жо'-)-и2со") 11 dv,
и произведена подстановка к = к0 + к. Функция ф описывает
модуляции в (17.62); она удовлетворяет уравнению
+ (17.63)
и соответствует дисперсионному соотношению
W = жо' + и2со". (17.64)
17.8. Волновые пакеты и уединенные волны
575
Уравнение для Ф соответствует исходному разложению ю = "о + {к - к0) а0 +
- {к - /с0)2";,
т. е. имеет вид
1Ф,- (оз0 -/<-0со; +~ к*со;) Ф -И К -k0(,Q Фж -уСо;Фет= 0.
Преобразование (17.62) исключает дополнительные члены.
Если зто приближение к линейной дисперсии объединить с кубической
нелинейностью, то получится
г {<Pt + оо'фж) + ^сОоФжж + q | Ф |2 Ф = 0. (17.65)
Поскольку ф = aeixx~iWt по-прежнему является решением, видим, что
нелинейная поправка к дисперсионному соотношению модифицирует выражение
(17.64) так:
W = хсй'0 -|- х20)" - да2.
Следовательно, устойчивость или соответственно неустойчивость модуляций в
смысле § 14.2 и 15.3 устанавливаются следующим образом:
доц < 0: устойчивость,
<7со" > 0: неустойчивость.
