Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
де Фриза, и мы имеем прямые основания для их введения. Далее мы будем
действовать по аналогии с предыдущим подходом. Согласно версии Баланиса
обратной задачи рассеяния в (х, т)-плоскости, поведение функции ф при ж-
>- +оо определяет рассеивающий потенциал и в (17.38). Эволюция ф при
росте t определяется уравнением (17.39).
Приведем рассуждения Баланиса для уравнения (17.38), не выделяя пока
параметр t. Рассмотрим волну ф = б (х т), приходящую из а;=+ оо, и
обозначим отраженную волну через В (х-т). Таким образом,
ф ~ ф<" = б (х + т) + В (х - т) при х-+ + схз. (17.40)
17.3. Обратная задача рассеяния
565
Предположим, что соответствующее полное решение уравнения (17.38) можно
записать как
Ф (х, т) вя фо, (х, т) + j К (х, |) фос (1, т) dE. (17.41)
[х
(Это эквивалентно решающему шагу в методе Гельфанда- Левитана.)
Непосредственной подстановкой в (17.38) проверяем, что такое решение
существует при условии, что
Кг1-Кхх -)- и (х) К = 0, 1 > х,
и(х)=-2±К{х,х), (17.42)
К, яу-^о, 1-+- ОС.
Это корректно поставленная задача, и, следовательно, К существует. В силу
гиперболичности волнового уравнения (17.38), ф должна обращаться в нуль
при х + т < 0. Отсюда
Фю (х, т) + j К (х, Е) фоо (Е, т) dE- 0, х-(- т < 0.
Подставив это выражение для ф" в (17.40), получим
В (х-т)-\-К(х, -т) -f j К (х, Е) В (Е-т)<2Е = 0, аг + тсО.
X
При т = - у это совпадает с уравнением Гельфанда - Левитана
(17.36).
Чтобы использовать эти результаты для решения уравнения Кортевега - де
Фриза, заметим, что эволюция функции В при росте t определяется
уравнением (17.39). Но при х -> + оо, и -> 0, следовательно, В
удовлетворяет соотношениям
Вхх-Вхх = 0,
ft+M-o. (17-43)
При t = 0 функция В определяется по прямой задаче рассеяния для (17.38) с
и (х, 0) и имеет вид
В (х -т) = 2 Vn ехр { - хп (т-T)}-j--gj- j р (&) ехр {ik[x-т)} dk.
Гл. 17. Точные решения
566
Решением уравнений (17.43) при ?>0 является В (х - т, *)=2 7пвхр{ - (я-т)
+ 8 +
-)~"1я 1 ^ ^ ехР - т) + SiTc3^} d/e.
При т = - у это опять совпадает с (17.37).
Эта версия не только позволяет быстрее получить конечный результат. Она
заменяет довольно неуклюжее уравнение (17.34) более симметричным
уравнением (17.39) и более четко приводит к простой линейной задаче
(17.43). Основной дисперсионный оператор
J_ . д3
dt дх3
фигурирует и в (17.39), и в (17.43), но только в более общей форме
_д |_ /J5___е_\3
dt V dx dT )
Эта обобщенная форма позволяет понять, откуда появляется множитель 8 в
содержащем t члене выражения (17.37).
Мы будем называть выражения (17.35)-(17.37) решением, хотя в общем случае
с линейным интегральным уравнением (17.36) трудно иметь дело. Однако из
него можно получить некоторые результаты. Во-первых, в частном случае [3
(к) = 0 уравнение решается в явном виде и дает взаимодействие уединенных
волн, обсуждавшееся в предыдущем параграфе; каждое дискретное собственное
значение отвечает уединенной волне. Во-вторых, набор уединенных волн, в
конце концов возникающих из произвольного начального распределения и (х,
0), можно определить по его спектру. В-третьих, можно показать (Сегюр
[1]) х), что при t оо вклад непрерывного спектра в и (х, t) убывает как
t~2i3. Первые два вопроса будут рассматриваться в следующих параграфах.
х) См. также Шабат А. Б., Об уравнении Кортевега - де Фриза, ДАН, 211
(1973), вып. 6. Наиболее интересные результаты по этому вопросу
содержатся в статье В. Е. Захарова и С. В. Манакова "Асимптотическое
поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной
задачи рассеяния", ЖЭТФ, 71 (1976), вып. 1.- Прим. ред.
17.4. Случай чисто дискретного спектра
567
1/.4. Частный случай чисто дискретного спектра В этом случае соотношение
(17.37) можно записать в виде В (х +у) = (х) hn (у),
где не указана явная зависимость от t. Множитель ехр (8 x^t) можно либо
включить в gn или hn, либо распределить между этими сомножителями. Тогда
решение уравнения (17.36) можно искать в виде
К (х, у) - 2 wn (х) К (у),
что дает
и'т (х) 4- gm {х) + 2 wn (х) [ gm (z) hn (z) dz = 0.
J
П X
Пусть матрица P (x) определена равенствами
Pmn (•?) " $mn "t~ ? gm (^) ^n (^)
oc
и пусть /, g и h - векторы-столбцы с компонентами fm, gm и hm', тогда
имеем
w (х) = - Р~1 {х) g (х)
и
К (х, х) = hT (х) w (х) = - hT (х) Pl {x)g (х). Поскольку
Bmn (ж) gm (х) hn (а),
решение К (х, х) можно представить как
рг (.,¦ т\ Tr f Р-1 ^ 1 - v VI tP-ml. dPmn 1 d I р.
(Xf X) | H7 f ~ 2j 2j ~]~р] Tx \p\Tx\
n m
где | P | - определитель матрицы P, а -Pmi - алгебраическое дополнение
элемента Рт1. Следовательно,
Так как и = - ат)/6, это совпадает с (17.6), и осталось проверить, что
|/* | совпадает с функцией F, определенной в (17.19)-(17.20).
Существуют различные способы получить одно и то же выражение для и. Если
мы в формуле (17.37) для В положим
gm (ж) = Ym ехр (- Хтх + SKmt), К (х) = ехр (- хпх),
Гл. 17. Точные решения
568
то получим
Ттп ехр { - (%+Ип) X + Sy.fgt}
Экспоненциальные множители можно вносить в определитель (или не вносить в
