Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пограничного слоя, и различие в граничных условиях поглощается
пограничным слоем.
Случай Ci > а > с2 > 0. В этом случае обе характеристики уравнения (10.5)
направлены в область г>0и следует наложить два условия
ф = / (t), ф* = g (t) при х = 0, t > 0. (10.29)
Заметим, однако, что только одно из них или, может быть, их комбинацию
можно сохранить для (10.8). Два условия (10.29) в точности соответствуют
положительности сг и с2; оба члена в (10.16) следует сохранить, так что
имеем две произвольные функции, которые надо определить. Пусть / (р) и g
(р) - преобразования Лапласа функций / (?) и g (t); тогда произвольные
функции, входящие в решение (10.16), определяются из уравнений
F + G = f, PiF = Pfi = g.
(10.30)
10.1. Точные решения линеаризованной задачи
337
Исследование слагаемого вида (10.18) выполняется точно так же, как и
выше, и приводит к тому же заключению, а именно: первые сигналы
распространяются со скоростью с1г но затухают; основное возмущение
распространяется со скоростью а и диффундирует под действием эффектов
высшего порядка. Основное возмущение опять хорошо описывается уравнением
(10.8), и единственный новый вопрос связан с выбором подходящего
граничного условия. Функция F (р), фигурирующая в соответствующем решении
(10.26), находится из уравнений (10.30):
f-?p$3.(10-31>
Но при выводе формулы (10.26) 1\ аппроксимируется для малых значений цр,
и Р2 тоже следует аппроксимировать аналогичным образом. Из (10.17) легко
получить, что
rijPi = - (б2/?2), ^2=-(чр);
в этом приближении равенство (10.31) сводится к
F = /.
Следовательно, граничное условие ф = / (f) действительно выполняется; его
следует использовать для упрощенного уравнения. Второй член полного
решения имеет вид
"2la I ~ПГ~ ехр № + Р* <р)х} dp' (10.32)
т
Поскольку Р2 ~ - plc2 при р -оо, это выражение равно нулю при х > c2t;
следовательно, второй волновой фронт связан с волнами,
распространяющимися со скоростью с2. Как и ранее, легко показать, что эти
волны экспоненциально затухают и становятся пренебрежимо малыми при
х/(с2ц) 1. Метод перевала затем
показывает, что вклад интеграла (10.32) мал всюду, за исключением
окрестности прямой х - 0. Чтобы исследовать поведение решения вблизи х -
0, можно использовать асимптотическое разложение, соответствующее
предельному переходу
t X
> оо, ----- фиксировано.
т] сг'П
Известно, что эта асимптотика определяется видом подынтегрального
выражения в (10.32) при малых т^р. Имеем
Гл. 10. Иерархия волн
338
Следовательно, интеграл (10.32) имеет асимптотику
~ { 8 V) +4- ¦г (0 } ~~ фехР (-~f) • <10-33)
Таким образом, первый вклад от интеграла (10.32) распространяется с с2-
волнами, но затухает, а его основной вклад соответствует пограничному
слою и определяется выражением (10.33).
Рис. 10.2. с, ^-диаграмма для задачи о распространении сигнала.
А - иогранпчнын] слой, В - экспоненциальное затухание, С - основное
возмущение.
Полное решение при tlx\ 1 получается сложением двух
основных вкладов и имеет вид
(10.34)
В первом приближении это выражение удовлетворяет обоим граничным
условиям. Второй член необходим для удовлетворения второго граничного
условия, но быстро затухает вне пограничного слоя толщиной порядка
x\cxcja. Полученные результаты удобно изобразить на (х, ?)-диаграмме, как
показано па рис. 10.2.
10.2. Упрощенный подход
Другие линейные уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно
рассмотреть аналогичным образом при помощи преобразований Фурье и Лапласа
и подходящих асимптотических разложений. Однако существует более простой
интуитивный подход, который позволяет не только обойтись без утомительных
10.2. Упрощенный подход
339
подробностей, но и глубже понять суть дела. Продемонстрируем этот подход
на примере предыдущей задачи.
Прежде всего в любом волновом профиле, движущемся со скоростью, близкой к
V, производные по i и х связаны приближенным равенством
(10-35>
Этот факт можно использовать в уравнении (10.5) и исследовать поочередно
волны, движущиеся со скоростями с,, с2, а. Для с,-вол и положим dldt ~ -
сгд!дх во всех производных, выделив предварительно главный член,
содержащий множитель dldt + + сх0!дх, и получим
11 ^-с*> 4г (4г+¦с'--щ-) v+("-=°-
Оператор д!дх можно проинтегрировать без потерь, поскольку он
соответствует вкладу других волн. В соответствии с этим имеем
Решение в точности совпадает с выражением (10.20). Аналогично для с2-волн
находим
iSi-Ur дч I а~~°2 " о
dt. дх ' г] (сi - с2)
Решение выражается формулой, аналогичной (10.20), и может быть строго
обосновано при помощи (10.32).
Для волн низшего порядка, распространяющихся со скоростью а, в членах
второго порядка в (10.5) мы полагаем dldt ~ ~ - ad/dx и получаем
соответствующее приближенное уравнение
<f t + Щ'х - й (ci - ") (я - сг) Фжж- (10.37)
Это находится в точном соответствии с (10.28). Если в членах второго
порядка предпочесть производные по t, то получим альтернативное уравнение
(10.27).
Возможность существования пограничного слоя вблизи х 0 можно исследовать
