Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
имеет вид
Для упрощенного уравнения (10.8) начальное условие tpt = 0 следовало бы
опустить, но в любом случае решение остается тождественно равным нулю для
х > 0 в течение некоторого интервала времени, так что никакой разницы
нет. Используя преобразование Лапласа, будем искать решение уравнения
(10.5) в следующем виде:
где SB - контур Re р = const, проходящий правее всех особенностей
подынтегрального выражения в комплексной р-плоскости. Подстановка в
(10.5) дает
Wsfc + {'П (ci + с2) Р + "} Ф* + Р {цр +1) ф= 0, и общее решение ср имеет
вид
a F и G - произвольные функции. Для больших р
В этом случае, когда сх >0, с2 <С 0, второй член в (10.16) неограничен
для больших значений Re р, так что следует положить G (р) = 0; зтот член
соответствовал бы приходящим волнам со скоростью Cj < 0 и поэтому
исключается. Вторая функция F (р) полностью определяется одним граничным
условием <р = = / (t) при х = 0. Фактически это требование состоит в том,
что F (р) должна быть преобразованием Лапласа функции / (t).
Окончательное решение, следовательно, имеет вид
Ф = ф( = 0, х > 0, t = 0, Ф = / (t), х - 0, t > 0.
(10.14)
(10.15)
Ф = F (р) ехР"Р> + G (р) е*р2(г", где Р\ и Р2-корни уравнения
т)с4с2Р2 + {ц (с4 -j- с2) р + а} Р + р (цр +1) = 0,
(10.17)
(10.16)
ф = -^- f ^ gPt+Pl(P)x flp
т 2 т J р 1
SB
(10.18)
Гл. 10. Иерархия волн
332
где
P(p) = p]f (0 e~pt dt>
о
о
(10.19)
a Pi (р) - корень уравнения (10.17), имеющий асимптотику -р!сх при р -оо.
Когда I - .г/с, < 0, контур можно замкнуть большой полуокружностью в
правой полуплоскости и показать, что <р = 0. Таким образом, волновой
фронт описывается уравнением х - cpt = 0. Поведение <р вблизи волнового
фронта определяется более подробным асимптотическим представлением
подынтегрального выражения в (10.18) при р -*¦ оо. Если контур SS
сдвинуть достаточно далеко вправо, то в (10.18) можно подставить
разложение
Данный результат совпадает с первым членом разложения геометрической
оптики (см. § 7.7); дальнейшие члены этого ряда можно получить, продолжив
разложение функции ePlx для больших р. Общий вид разложения можно найти,
подставив разложение геометрической оптики непосредственно в (10.5), но
(10.20), кроме того, связывает функцию от t - .г/с, с граничными
условиями. Выражение (10.20) справедливо вблизи волнового фронта. Оно
показывает, что первое возмущение распространяется с с,-волной, но это
возмущение экспоненциально затухает и становится пренебрежимо малым на
расстоянии порядка с,!]. При т] -0 это возмущение становится пренебрежимо
малым для всех х > О в соответствии с упрощенным описанием.
Спросим теперь, где находится основное возмущение, описываемое формулой
(10.18). Для получения ответа на этот вопрос исследуем поведение данного
выражения на семействе прямых x!t = const в (х, ^-плоскости, поскольку
каждая из них является траекторией волны, движущейся с постоянной
скоростью. Следует соблюдать разумную осторожность при вычислении
пределов, и поэтому целесообразно ввести безразмерные величины
и получить приближенное выражение
С, -С2 С,Т)
с, - а .г
(10.20)
9 = "ПР. Q (q) = VFiPi (Р), т = -ГГ '
40.1. Точные решения линеаризованной задачи
333
Вообще говоря, граничная функция / (t) вводит другой масштаб времени,
скажем Т, и F (р) следует записать в виде
F(P) = JF (q?).
Тогда (10.18) преобразуется в следующее выражение:
ф = JL ( ? WW. e(g+mQ)m dq, (10.21)
m Ъ 9
где Q{q) - подходящий корень уравнения
f ^+{(1+)"+-?-} 0+ ,г<" +1 > = "•
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение выражения (10.21), когда t/i]
-оо при фиксированном т. Согласно методу перевала, доминирующий вклад
дается окрестностью точки q = q*, для которой
±(q+mQ) = 0,
или
1 + mQ'(q*) = 0. (10.22)
Первый член асимптотического разложения находится деформированием контура
интегрирования в кривую скорейшего спуска проходящую через точку q = q*,
и разложением величины q + + mQ по q - q* с точностью до квадратичных
членов включительно. Таким образом, имеем
<Р ~ ехр (-^-{д* + ш(%*)}) X
'?-9~-ехР {4тг т()" (g*> (g~g*)2} d(i (Ю-23)
при tit] -*¦ оо.
В обычном методе перевала оставшаяся часть подынтегрального выражения
также раскладывается в ряд Тейлора с центром в точке q= q* и J'
(qTlr\)lq заменяется на ,iF (q* Tlt])/q*. Этот дальнейший шаг будет
справедлив для предела t/t] -оо, Tit] фиксировано, что соответствует
случаю, когда ? t Т. Но нас
интересует случай t Э>'П, Т ^ 1] независимо от величины tIT. Для того
чтобы включить этот случай, в формуле (10.23) следует допустить
возможность 77т] -+ оо и сохранить более общее выражение.
Гл. 10. Иерархия волн
334
При исследовании поведения функции (10.23) удобно вернуться к исходным
переменном. Имеем
Ф~ exp^ + aiMp*)} j ехр хР\ (р*) (р - р*)2} dp,
(10.24)
где р* - функция от х и t, определяемая равенством
t + хР\ (р*) = 0. (10.25)
Это выражение дает асимптотическое поведение функции ф, когда tlr\ оо, х
l(c,t) фиксировано. Простоты ради предположим, что
