Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волн, поскольку оно основано скорее на виде решения, чем иа самих
уравнениях. Но можно сначала выделить некий класс задач, для которых
точное определение не вызывает затруднений, а затем делать естественные
обобщения или опираться на аналогии. Следует добавить, что некоторые
уравнения специального вида проявляют как гиперболическое, так и
диспергирующее поведение, причем форма поведения зависит от той области,
где рассматривается решение. Однако это не правило, а исключение.
В первых двух главах данной части развиваются общие идеи для линейных
систем. В главе 13 изучаются волны на воде; мало того, что эта тема сама
по себе захватывающа, ей обязаны своим происхождением многие идеи
диспергирующих волн. В этой главе впервые речь идет о нелинейных
диспергирующих волнах в соответствующем конкретном плане; полученные
здесь результаты служат основой для построения общей нелинейной теории в
главах 14 и 15. Глава 16 посвящается различным приложениям этой теории. В
главе 17 освещаются недавние работы по уединенным волнам (солитонам) и
уравнениям специального вида.
11.1. Дисперсионные соотношения
349
11.1. Дисперсионные соотношения
В линейных задачах диспергирующие волны обычно распознают по
существованию элементарных решений в виде синусоидальных волновых пакетов
ф(х, t) ^ AeiK-x-iat, (11.1)
где х - волновой вектор, со - частота, а А - амплитуда. В элементарном
решении (11.1) величины у, а и А являются постоянными. Поскольку
уравнения линейны, множитель А сокращается и может быть выбран
произвольно. Но для того чтобы уравнения удовлетворялись, у и со должны
быть связаны равенством G (со, у) = 0.
Функция G определяется конкретными уравнениями задачи. Например, если (р
представляет собой решение уравнения колебаний балки
фм "Ф У^^Рхххх ~ 0*
ТО
со2 - у2х4 = 0.
Зависимость между со и у называется дисперсионным соотношением, и, как
станет очевидным ниже, зная дисперсионное соотношение, можно забыть о
самом уравнении; в свою очередь, по дисперсионному соотношению можно
восстановить исходное уравнение.
Будем считать, что дисперсионное соотношение имеет вещественные корни
вида
со = W (у). (11.2)
В общем случае будет несколько таких решений с различными функциями W
(у). Мы будем называть их различными модами. Например, уравнение
колебаний балки имеет две моды
со = ух2, со = - ух2.
Пока мы будем изучать одну моду; в линейных задачах полное решение можно
получить суперпозицией мод. Линейность позволяет нам также работать с
комплексными выражениями (11.1),
имея в виду, что в случае необходимости следует взять
веществен-
ную часть. Фактическое решение имеет вид
Не ф = \ А | cos (х -х - со ? + т)), ч] = arg А.
Величина
G = у -х - at (И.З)
называется фазой; она определяет положение на цикле между
гребнем волны, где Re ф максимальна, и впадиной, где Re <р ми-
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
350
нихтльна. Для этого решения вида плоской волны поверхности постоянной
фазы 0 = const являются параллельными плоскостями. Пространственный
градиент фупкции 0 равен волновому вектору х, направление которого
нормально к плоскостям постоянной фазы, а величина у. равна среднему
числу гребней на 2л единиц расстояния в этом направлении. Аналогичным
образом -0( есть частота со, или среднее число гребней на 2л единиц
времени. (Нормировка на 2л единиц удобна при работе с тригонометрическими
функциями.) Длина волны К равна 2л/и, а период т составляет 2л/ю.
Волновой характер движения виден из формулы (11.3). Каждая конкретная
поверхность постоянной фазы движется с нормальной скоростью ю/х в
направлении вектора х. Поэтому мы вводил! фазовую скорость
где х - единичный вектор в х-направлении. Для любой конкретной моды (о -
W (х) фазовая скорость является функцией от х. Для волнового уравнения q
ы = c2V2 q дисперсионное соотношение дает со = + с0х и с - + с0; фазовая
скорость совпадает с обычной скоростью распространения возмущения. В
общел1 случае с зависит от х. Различные волновые векторы приводят к
различным фазовылг скоростям. Это и выражается термином "дисперсия". В
фурье-представлении решений более общего вида компоненты с различными
волновыми векторалш с течением времени расплываются. Этот принципиально
важный процесс будет подробно обсуждаться в следующем параграфе.
По соображениям классификации мы должны исключить из класса
диспергирующих волн случай с - const, поскольку в этом случае дисперсия
отсутствует. Ясно также, что выражения (11.2) должны быть вещественными.
Например, уравнение теплопроводности =---= V2q имеет решения вида (11.1)
с ю - - гх2, но эти решения не описывают распространение волн. Для того
чтобы исключить эти нежелательные возможности, при предварителыкш
расслготрении диспергирующих систем ограничимся случаями, для которых
I d2W I
функция W (х) вещественна и определитель | -- | ф 0. (11.5)
Для одномерных задач второе условие попросту означает, что
Это требование несколько сильнее, чем условие с' (х) Ф 0, по-
