Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в формуле (11.16) дает только один вклад. Однако для второго
интеграла в решении (11.16) стационарные точки удовлетворяют уравнению
W (х)=-f,
и -к будет решением этого уравнения при х > 0. Таким образом, если к
определяется соотношениями (11.25), то в (11.16) имеются стационарная
точка к = к в первом интеграле и стационарная точка х = -к во втором
интеграле. В силу (11.18), вклады снова объединяются и суммарный
результат приводит к той же формуле (11.24).
Важность условия W" (х) ^ 0 в определении диспергирующих волн для
линейных систем теперь очевидна. Если производная W' (х) постоянна, то
при любом значении отношения xlt стационарных точек нет и весь
асимптотический анализ меняется. Конечно, он и не нужен, поскольку
интегралы Фурье немедленно упрощаются. Важность условия W" (к) ф 0
связана и с тем, что W" стоит в знаменателе выражений (11.24) и (11.23).
Если W" (х) не равна тождественно нулю, но обращается в нуль для
некоторой стационарной точки к, то правильное асимптотическое поведение
определяется с помощью дальнейших членов ряда Тейлора для у. Если у" (к)
= 0, но у'" (к) Ф 0, то вклад в (11.20) равен
F (к) ехр { - ty (ft) t} j exp { ~ -g-1%" (k) (x - ft)3 j dv, =
- (4-) 13"'*2''3 -m-^exp (ifcr-W (*) t). (11.26)
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
360
Поскольку к - функция от х/t, это выражение указывает на сингулярное
поведение решения на соответствующей прямой xlt = = W' (к) и в ее
окрестности.
Перейдем теперь к подробному обсуждению асимптотических формул (11.24) и
(11.25).
11.4. Групповая скорость; распространение возмущений волнового числа и
амплитуды
В каждой точке (х, t) соотношения (11.25) дают определенное значение
волнового числа к (х, t), а дисперсионное соотношение со = W (к) дает и
частоту со (х, t) в этой точке. Можно ввести фазу
Выражение (11.27) имеет форму элементарного решения, но величины А, к, ю
уже не постоянны. Однако это решение все еще описывает осциллирующий
волновой пакет с фазой 0, представляющей изменения между локальными
максимумами и минимумами. Отличие в том, что волновой пакет теперь
неоднороден, расстояние и время между двумя последующими максимумами
непостоянна так же, как и амплитуда.
Естественно обобщить на этот неоднородный случай понятие волнового числа
и частоты, определив их как 0* и -0; соответственно. Число максимумов на
единицу длины является грубой и некорректно определенной величиной, в то
время как величина 0* более точно и непосредственно соответствует
интуитивному представлению локального волнового числа. Более того, в
рассматриваемом случае мы имеем
0 (ж, t) = хк (х, t) - tiо (х, t) и переписать формулу (11.24) в виде
Ф = Re {А (ж, t) eie<x- *)},
(11.27)
где комплексная амплитуда равна
Л(ж, t)^2F1(k)j/r(11.28)
0 (х, t) = kx - W (к) t.
- =-w
(11.29)
11.4. Групповая скорость
361
Члены, содержащие кх и kt, исключаются условием стационарности (11.25), и
остается просто
в-=к(х, t), (11.30)
-W(k)= - а>(х, t). (11.31)
Таким образом, определение волнового числа к, которое было введено как
специальное значение волнового числа в интеграле Фурье, согласуется с
нашим расширенным определением локального волнового числа 0Х в
осциллирующем неоднородном волновом пакете. Это же верно и для
соответствующей локальной частоты. Более того, локальное волновое число и
локальная частота удовлетворяют дисперсионному соотношению даже в
неоднородном волновом пакете.
Такая согласованность двух определений объясняется малой неоднородностью
процесса. При слишком беспорядочных осцилляциях тоже можно найти фазовую
функцию 0 и затем определить 0* как волновое число, но если производная
0Ж сама быстро меняется на протяжении одной осцилляции, то интуитивная
интерпретация будет утеряна. В нашем случае k {х, t) - медленно
меняющаяся функция. Из соотношения (11.25) имеем кх W' 1 kt i
1
к kW" х ' к kW" (к) t '
причем обе величины х и t относительно велики. Следовательно,,
относительное изменение на одну длину волны или на один период малы, и в
этом смысле к - медленно меняющаяся функция; то же верно и для о). (Снова
отметим сингулярное поведение в окрестности каждой точки, где W" (к) =
0.) Исходя из выражения (11.28), легко показать, что А также меняется
медленно.
С этими интерпретациями величин, фигурирующих в (11.27), мы вернемся к
определению (11.25) для к и ю как функций от (х, t) и к определению
(11.28) для А. Соотношения (11.25) определяют к как функцию от ж и f, но
полезно рассмотреть обратную функцию и выяснить, где можно найти
конкретное значение к0. Ответ очевиден: в точках, где
х= W' (к0) t.
Таким образом, наблюдатель, движущийся со скоростью W' (к0),. все время
будет видеть волны с волновым числом к0 и частотой. W (к0).
Величина
W{k)^
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
362
называется групповой скоростью; это понятие скорости "группы" волн с
меняющимся волновым числом весьма важно. Наша интерпретация определения
(11.25) показывает, что каждое волновое число распространяется со своей
