Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
групповой скоростью; каждое конкретное волновое число к0 за время t
смещается на расстояние W' (к0) t.
Распространение каждого фиксированного значения фазы 0О описывается
уравнением
0 (ж, t) = 0О,
или
0* 1Г+0| = °*
откуда
dx %t w
dt 0* к
Таким образом, фазовая скорость с по-прежнему равна talk, хотя понятия
величин со и к и были расширены. Но она не совпадает с групповой
скоростью. Наблюдатель, расположенный на каком-либо выбранном гребне,
движется с локальной фазовой скоростью, но видит изменяющиеся локальные
волновое число и частоту, т. е. гребни исходной формы уходят от него все
дальше и дальше. Наблюдатель, движущийся с групповой скоростью, видит
одни и те же локальные волновое число и частоту, но гребни проходят мимо
него один за другим.
Для того чтобы продемонстрировать это важное различие, рассмотрим
уравнение колебаний балки. Дисперсионное соотношение имеет вид
W (к) = уй?.
Поэтому (11.25) дает
W' (к) = 2ук = ~,
и мы имеем
^ 2yt ' й) 4yt2 ' 0 4yt
Групповым линиям с постоянными к ию соответствуют прямые
W=consi'
а фазовым линиям с постоянной 0 - параболы
11.4. Групповая скорость
363
Они построены на (ж, ^-диаграмме, представленной на рис. 11.1. В данном
случае групповая скорость 2ук больше фазовой скорости ук.
Для волн на глубокой воде (см. гл. 12) дисперсионное соотношение имеет
вид W = У gk. Поэтому уравнение W' (к) = xlt приводит к формулам
г. St2 о St2
4г2 ' 2х ' 4я '
Групповая скорость 1l2[^g/k меньше фазовой скорости У glki и мы имеем
ситуацию, изображенную на рис. 11.2.
Рис. 11.1. Групповые линии (сплошные кривые) и фазовые линии (штриховые
кривые) для волн в балке.
Рис. 11.2. Групповые линии (сплошные кривые) и фазовые линии (штриховые
кривые) для волн на глубокой воде.
Во всех случаях (для пока что рассматривавшихся однородных сред)
групповые линии являются прямыми в отличие от фазовых линий; каждое
волновое число распространяется с постоянной скоростью, каждая фаза
ускоряется или замедляется, проходя через различные волновые числа.
Если начальные условия взять в виде 6-функции, так что
Ft (к) = 1/(4л), то амплитуду А (х, t) можно также найти в
явном
виде и полные асимптотические решения равны соответственно
Ф~-у-1 cos (----------------------(11.32)
Т У4лyt V iyt 4 / v '
для балки и
для волн на воде. (В действительности равенство (11.32) является
точным, поскольку для балки W (х) совпадает с квадратичной
функцией.)
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
364
Вторая важная роль групповой скорости проявляется при изучении амплитуды
А (ж, t). Формула (11.28) наводит на мысль, что удобнее рассматривать
величину | А |2, и это естественно с физической точки зрения, поскольку
данная величина подобна энергии. Связь | А |2 с истинной энергией и так
называемым "волновым действием" будет выяснена ниже, а пока что А (ж, t)
- вполне определенная величина, заданная формулой (11.28), и мы можем
рассматривать | А | 2.
Интеграл от [ А |2 по отрезку ж2 > хг > 0, согласно (11.28), равен
В этом интеграле к как функция от ж и t определяется равенством
(11.25). Поскольку к входит в подынтегральное выражение, а ж в него не
входит, естественно принять к за новую переменную интегрирования, проведя
замену
Если W" (к) С 0, то пределы интегрирования меняются местами.
Пусть теперь ку и к2 фиксированы, a t меняется; тогда интеграл Q (t)
остается постоянным. Согласно равенствам (11.35), при этом точки Ху и ж2
движутся с соответствующими групповыми скоростями. Мы, следовательно,
доказали, что полный интеграл от j А |2 между любой парой групповых линий
остается неизменным. В этом смысле \ А |2 распространяется с группоесй
скоростью. Групповые линии расходятся на расстояние, пропорциональное t,
так что | А | убывает как f-1/2.
В частном случае волнового пакета, для которого исходное возмущение
локализовано в пространстве и имеет значительные амплитуды только для
волновых чисел, близких к некоторому определенному значению к*,
результирующее возмущение сосредоточено в окрестности групповой линии к*
и волновой пакет как целое движется с групповой скоростью W' (к*).
Описание свойств групповой скорости часто ограничивают только этим
случаем-Однако предыдущие рассуждения не связаны этим ограничением и
допускают произвольное распределение по всем волновым
Q (t) = j A A* dx = 8n j
х = W' (к) t.
При W" (к) > 0 имеем
(11.34)
fel
где ку и к2 определяются равенствами
Ху - W' (ку) t, х2 = W' (к2) t.
(11.35)
11.5. Групповая скорость и кинематическая теория
365
числам с полной картиной дисперсии, изображенной на рис. 11.1 и рис.
11.2, когда в игру вступает вся область значений функции W' (к).
11.5. Групповая скорость с точки зрения кинематической теории
Понятие групповой скорости настолько важно для понимания волнового
движения, что возникает следующая мысль: это понятие не должно быть
только конечным результатом применения преобразования Фурье и метода
стационарной фазы. Для неоднородной среды или для нелинейных задач, где
