Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 119

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 215 >> Следующая

в том же духе, считая, что производные по х будут гораздо больше
производных по t, так что следует ввести соотношение
4-" Ж' <10-38>
Это можно интерпретировать как частный случай приближения (10.35) с V =
0, что соответствует неподвижным волнам. В таком приближении (10.5)
сводится к уравнению
WW** + яфя = 0, (10.39)
Гл. 10. Иерархия волн
340
общее решение которого имеет вид
Ф = И(г) + 13(0ехр(-^-у), (10.40)
и согласуется с решением (10.34). Конечно, экспоненциальное решение
исключается, если не выполнено условие я/(С]С2т]);>"0, и только в случае
экспоненциального убывания возможно существование пограничного слоя.
Для слоя вблизи t - 0, где в полном уравнении задаются начальные значения
для ф и ф/ при t - 0, рассмотрим уравнение в приближении dldt д/дх. Для
уравнения (10.5) имеем
т]фн + щ = 0, ф = С (х) + D (.х) е-1К
Это показывает, как полное решение переходит в приближенное решение,
учитывающее только начальные значения ф1.
Указанный подход позволяет быстро дать оценку различных представляющих
интерес областей и получить соответствующие приближенные формулы. На этой
основе легко развить более строгую процедуру рядов теории возмущений.
Например, непосредственное разложение
ф = Фо (*" t) + Wi fa t) + rf ф2 (x, t) + ...
приводит к уравнению (10.8) для ф0; разложение
ф = Фо (?> t) 4- 'П1/2ф1 (I, t) + . . .,
? = тр1/2 (х - at)
приводит к уравнению (10.28) для ф0; разложение
ф = ФО (-Х. t) + Т]ф! (X, t) +
X = т]_1з-
приводит к уравнению пограничного слоя (10.39) для ф0.
10.3. Системы высокого порядка, нелинейные эффекты и ударные волны
В случае нелинейных систем уравнений, описывающих плоские волны различных
порядков, мы, как правило, не имеем полного точного решения уравнений и
при аналитическом анализе приходится опираться на аналоги приближенных
выражений из предыдущего параграфа. Детали процедуры будут меняться от
задачи к задаче, но можно отметить некоторые общие путеводные нити. Для
удобства ссылок будем называть полную систему уравнений системой I, а
упрощенную систему, получаемую при равенстве нулю некоторого параметра
т], системой II.
10.3. Нелинейные эффекты и ударные волны
341
Теория характеристик дает характеристические скорости сх, . , ., сп для
системы I и характеристические скорости аг, . . . . . ., ат (т < п) для
системы II. В случае произвольной нелинейной задачи они будут функциями
от зависимых переменных. Однако линеаризованная теория для малых
возмущений около некоторого однородного состояния оказывается полезной
для подготовки арены дальнейших действий и является источником информации
об устойчивости. Если имеются только два порядка, то линеаризованная
теория для плоских волн в однородной среде сводится к одному уравнению
"(i+o-t) ••• (-|+'"-|гЬ+
+ {ж+"<4г) - (-r+'b.-s-h-o <10-41>
для некоторого потенциала возмущения ср, где постоянные скорости
распространения равны своим значениям в однородном состоянии. Стандартное
исследование устойчивости приводит к следующему интересному результату: в
устойчивом случае порядки связаны формулами т = п - 1 или т, - п - 2. В
первом случае полные требования имеют вид
т гг- 1, т] > 0, сг > аг > с2 >я2 > . . . >a"_i>cn. (10.42)
Это как раз те условия, которые допускают удовлетворительную
интерпретацию процесса аппроксимации решений полной системы II решениями
системы I. Второй случай т, = п - 2 вводит эффекты, более типичные для
диспергирующих волн, и его обсуждение переносится во вторую часть книги.
(Условия устойчивости для этого случая были получены By [1], исправившим
неправильное утверждение автора, считавшего, что (10.42)- единственный
допустимый случай.)
Уравнение (10.41) можно решить при помощи преобразования Фурье, но
набросок общей картины можно сделать на основе подхода, описанного в
предыдущем параграфе. Каждая из сгволн удовлетворяет приближенному
уравнению
Ц (ф( + сгфж) + угф = 0, (10.43)
где yt выражается через скорости я и с подобно тому, как это имело место
в уравнении (10.36). Из условий устойчивости следует, что > 0, так что
происходит экспоненциальное затухание. Аналогичным образом я;-волны
удовлетворяют приближенному уравнению
ф< + АгФ* = т]"гФ**, (10.44)
аналогичному уравнению (10.28), причем аг > 0.
Гл. 10. Иерархия волн
342
Для учета нелинейных эффектов следует стремиться получить взамен
уравнения (10.43) уравнение вида
ф 1 + ci (ф) фх "Ь Ргф = 0. (10.45)
Теперь между волнами каждого из порядков существует нетривиальное
взаимодействие, и вывод уравнения (10.45) потребует рассуждений типа
"обоснования простой волны". В нелинейных задачах обычно удобнее работать
с п зависимыми переменными и системой уравнений первого порядка. Метод
использования для сг-волн приближенного равенства dldt ~ - Cjdldx, грубо
говоря, эквивалентен предположению, что п - 1 римановы переменные,
соответствующие п - 1 остальным с-волнам, постоянны.
К уравнению (10.45) применима теория, изложенная в гл. 2. Волны,
переносящие возрастание cf (ср), могут опрокидываться (см. обсуждение
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed