Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оо
j / (t) dt сходится, так что F (р)/р конечно при р 0 и полюс о
отсутствует. (Случай, когда / (t) стремится к постоянной при tоо, также
представляет интерес, но его очень легко исследовать, переформулировав
задачу в терминах функции ф4.) В асимптотическом выражении (10.24)
доминирует экспоненциальный множитель, стоящий перед интегралом.
Стационарные точки зкспоненты находятся из уравнения
-^{tp* + xPl(p*)}^= 0,
которое, в силу равенства (10.25), определяющего р* (х, t), сводится к
равенству
Pi (Р*) = о.
Согласно (10.17), равенство Рг (р*) = 0 должно соответствовать либо р* =
0, либо р* = - 1/т), и легко проверить, что правильным выбором для Рг
является р* = 0. Следовательно, экспоненциальный множитель в (10.24)
имеет стационарное значение (в действительности локальный максимум) для
тех значений х и t, для которых р* = 0 является решением уравнения
(10.25). Таким образом, максимум определяется из равенства
р + Р\ (0) х = 0.
При помощи (10.17) легко проверить, что Р\ (0) =[- а-1. Поэтому максимум
экспоненциального множителя лежит на прямой
х = at
и этот максимум является единственным. Возмущение (в рассматриваемом
пределе) экспоненциально мало всюду, за исключением окрестности прямой х
= at. Таким образом, основная часть возмущения со временем начинает
распространяться со споро-
10.1. Точные решения линеаризованной задачи
335
стъю а. При т] -*¦ 0 это будет происходить все раньше и раньше, поскольку
рассматриваемое приближение получено для t тр Можно получить и дальнейшую
информацию о поведении основного возмущения. В окрестности прямой х - at
соответствующие значения переменной р* малы. Детали возмущения можно
найти, взяв дальнейшие члены разложения выражения
(10.24) около точки р* = 0. Но тогда интеграл (10.18) мы
аппроксимировали бы в два этапа: сначала разложили pt + Рг (р) х вблизи р
= р*, а затем полученное выражение разложили вблизи р* = 0. Очевидно,
окончательный результат можно получить, просто разложив pt + Рг (р) х
вблизи р = 0. Имеем
р (р)^ Р I Р2?) (Cj - a) (а-с2) ¦
1 \Р) а "Т* аз "Г
Следовательно,
ф~т!г);Т1иф{р('-т)+ }№ <10-26>
¦е
в окрестности прямой х -[at 0 при t/r\ оо. В первом при-
ближении
%
что в точности совпадает с решением уравнения первого порядка
(10.8). Таким образом, мы убедились в том, что формулировка низшего
порядка дает правильное описание основного возмущения.
Чтобы понять роль квадратичного члена в экспоненте в (10.26),
целесообразнее найти уравнение, которому удовлетворяет интеграл (10.26),
а не исследовать сам интеграл. Действительно, это выражение совпадает с
решением уравнения
+ (Ю.27)
удовлетворяющим тому же самому граничному условию Ф = / (0 при х - 0.
Правая часть уравнения (10.27) уже является малой поправкой (порядка т\!t
по сравнению с другими членами), так что имеет смысл использовать в ней
первое приближение dldt ~ ~ - а (д/дх) и перейти к эквивалентной ,форме
ф* + "фж = т] (с1 - а) (а - с2) фжзс. (10.28)
Это уравнение нагляднее х); оно показывает, что основная часть возмущения
распространяется со скоростью а и диффундирует
*) Представляется, что было бы "нагляднее" оставить уравнение в виде
(10.27) и переобозначить независимые переменные: t-*-+ х, х ¦*-+¦ t.
Полная задача Коши для уравнения (10.28) с ф и ф^, заданными при х = 0,
является некорректной.- Прим. ред.
Гл. 10. Иерархия волн
336
за счет членов высшего порядка в уравнении. Но последний эффект мал,
когда т] мало.
Результаты для случая сх > а > 0, с2 <; 0 можно резюмировать следующим
образом. Первые сигналы распространяются со скоростью сг, но затухают,
как показано в (10.20). Основное возмущение отстает и движется со
скоростью волны низшего порядка а. В рассматриваемом случае нет
противоречия между числом граничных условий, накладываемых при х = 0;
условие ср = / (?) годится как для (10.5), так и для (10.8). Начиная со
значения времени порядка tj, первые сигналы становятся экспоненциально
малыми и основная часть решения уравнения (10.5) хорошо описывается
уравнением (10.8) с тем же самым граничным условием при х = 0. Влияние
членов высшего порядка заключается в диффузии волн низшего порядка, как
показывает уравнение (10.28), но эта диффузия мала, если т] достаточно
мало.
Случай Ci > 0, с2 < а < 0. В этом случае максимальное значение
экспоненциального множителя в (10.24) все еще достигается на прямой х =
at, но при а<0 это происходит вне области х > 0. Выражение (10.24)
экспоненциально мало по всей области х > 0. Метод перевала неприменим при
х = 0, поскольку, согласно
(10.25), седловая точка, очевидно, отсутствует; однако при помощи (10.18)
легко показать, что решение экспоненциально убывает от значения ф = / (t)
при х = 0 и возмущение сосредоточено в пограничном слое толщиной T]/Ci- В
этом случае первый сигнал экспоненциально затухает, а основное возмущение
не распространяется.
Упрощенное уравнение (10.8) не позволяет задавать значения Ф при х = 0 и
имеет решение ф = 0. Это согласуется с предыдущим описанием в области вне
