Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
случая можно найти в статье автора (Уизем [8]).
10.5. Примеры
345
Эффекты релаксации в газах
Уравнения невязкой газовой динамики (гл. 6) можно записать в виде
р<+ирж+риж^о,
1
ut -j- иих -f- - рх = 0,
et + uex + -j-Ux = 0.
При быстрых изменениях параметров течения внутренняя энергия е может
отставать от равновесного значения, соответствующего окружающему давлению
и плотности. Поступательное движение молекул устанавливается быстро, но
запаздывание вращательного и колебательного движений может быть на
порядок больше. Если предположить, что а степеней свободы устанавливаются
мгновенно, а остальные аТ степеней свободы требуют большего времени
релаксации, то можно положить
а. р
тт
где Е ¦- энергия отстающих степеней свободы. В равновесном состоянии (см.
(6.42)) Е принимает значение
р _ <*Т Р
-С'навнов - "о "
Et + uEx = -т
фавнов - 2 р '
Простое общее уравнение, описывающее релаксацию, имеет вид
¦Xj_ Гр_\
2 р ) '
где т - время релаксации. После несложных преобразований систему
уравнений можно записать в виде
Pt + "P*- + PM* = 0, ut -f иих + - рх = 0,
~2 (Pt + uPx)- (1 Ч g- ) ""р" (Р# UPX^ +Р + иЕх) =
Et + uEx + x(E-%-f)=0.
Характеристическими скоростями являются
Cj = и + af, с2 - с3 = и, с4 = и - а^,
где в] - "замороженная" скорость звука, определяемая равенством
2 \ Р р
аг
(1
V 1 а ) р и р
Гл. 10. Иерархия волн
346
Это система I для данного случая. Однако, если время релаксации т
считается настолько малым, что Е = (ат/2) (р/р) является хорошим
приближением в последнем уравнении системы, то имеем равновесную теорию
Р/ + иРх ~Т Рих = 0, щ -г иих + у рх = 0,
а~Г2аГ (Pt + ирх) - ( 1 + -\-Т-) У (Р/ + UPx) 0.
Это упрощенная система II для нашей задачи. Характеристиче-
ские скорости выражаются формулами
Gx = и + ае, а ^ = и, а3 = и - ае,
где ае - равновесная скорость звука, определяемая равенством
= ( 1 Ч X )
V а-раг / р р
Поскольку Ye < у/, различные скорости чередуются и имеет место
устойчивость; слияние скоростей со скоростью частицы снова соответствует
устойчивости.
Рассматривая с точки зрения полной системы структуру ударной волны Хц
(для которой считается, что течение между двумя однородными состояниями
равновесно), видим, что она будет непрерывной, если
U<2) _ ojw < и < и"> -р а?\ (10.49)
Поскольку, согласно Хи-условиям на разрыве. U > и(2), существенно только
ограничение сверху. Замороженная ударная волна Si возникает в передней
части профиля и будет сопровождаться областью непрерывной релаксации,
когда U > u(1) \-af.
Этот критерий можно записать в виде
Т]___.,(1) aSE 1 v, vi/2
¦ (10-50)
Для двухатомной молекулы две вращательные степени свободы могут отставать
от трех поступательных степеней, и это можно описать, положив а -- 3, аг
= 2. Замороженная и равновесные скорости звука равпы соответственно
2 5 р 2 7 р
at =-5- - , о? =. - -.
/ 3 р ' е 5 р
Критерий (10.50) предсказывает полностью релаксационный гладкий профиль,
когда
М < 1,091,
10.5. Примеры
347
и разрыв, сопровождаемый областью релаксации, когда М превосходит это
критическое значение. При учете вязкости и теплопередачи этот разрыв
переходит в тонкий подслой.
Гриффитс, Брикл, Блэкмен и Кенни (см. Гриффитс, Брикл и Блэкмен [1], а
также Гриффитс и Кенни [1]) опубликовали результаты экспериментальных
наблюдений за колебательной релаксацией в С02. В этом случае а следует
положить равным 5, чтобы включить и поступательные, и вращательные
степени свободы; колебательные движения устанавливаются значительно
дольше. При 300 К ат следует положить равным 2 1). Критическое значение
для М равно 1,043, и экспериментальные наблюдения, описанные в
цитированных выше работах, подтверждают это с достаточной точностью.
(Дальнейшие детали можно найти в указанных выше статьях и в превосходной
работе Лайтхилла [5].)
Таким образом, мы убедились в том, что введение в рассмотрение волн,
учитывающих различного рода дополнительные эффекты, и выяснение роли,
которую играет каждая из этих волн, приводит к сравнительно простым
предсказаниям важных явлений в чрезвычайно сложных ситуациях.
1) При этой температуре четыре степени свободы обладают только
половиной своей классической энергии, так что выбор а,. - 2 является
оправданным.
ЧАСТЬ II
ДИСПЕРГИРУЮЩИЕ ВОЛНЫ
Глава И
ЛИНЕЙНЫЕ ДИСПЕРГИРУЮЩИЕ ВОЛНЫ
В части I рассматривались в основном гиперболические системы. Однако
большая часть волновых движений, включая знакомые каждому волны на воде,
на первый взгляд не имеет непосредственной связи с гиперболическими
уравнениями. Эти связи обнаруживаются лишь на последующих стадиях
исследования при описании процессов распространения важных усредненных
величин, ассоциированных с возмущением. Для изучения же вопроса в целом
необходимо развить другую систему основополагающих идей и другой
математический аппарат.
Негиперболические волновые движения можно объединить во второй основной
класс волн, которые мы называем диспергирующими. Вообще говоря,
определение волн этого класса не настолько точно, как для гиперболических
