Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
о
Конечно, этот расходящийся интеграл следует интерпретировать как
обобщенную функцию.
11.3. Асимптотическое поведение решения
Хотя интегралы Фурье дают точные решения, все же их поведение трудно
определить непосредственно. Если рассматривать асимптотические выражения
для больших х и t, то это поведение становится яснее, а основные свойства
диспергирующих волн понятнее. Рассмотрим сначала типичный интеграл
Ф
(х, t)- j F (х)
в одномерном случае. При изучении волнового движения мы интересуемся
поведением при больших значениях как х, так и t, точнее, при ? -> оо, xlt
фиксировано. (Конкретный выбор отношения xlt позволяет изучить волны,
движущиеся с заданной скоростью.) В соответствии с этим запишем интеграл
в виде
ф(а\ t)= | F(x)e-^dx, (11.20)
11.3. Асимптотическое поведение решения
357
где
Х(х) = ИДх) - х-^-.
В данном контексте xlt - фиксированный параметр и % зависит только от х.
Интеграл (11.20) можно теперь изучать методом стационарной фазы; в самом
деле, именно для этой задачи Кельвин разработал указанный метод. Кельвин
показал, что для больших t основной вклад в интеграл дает окрестность
стационарных точек х = к, таких, что)
х'(*) = ИГ(Л)-f = 0. (11.21)
В остальных точках происходит быстрая осцилляция и суммарный вклад
оказывается малым. Более поздние формулировки метода скорейшего спуска
(или метода перевала) могут быть легче обоснованы и позволяют оценить
ошибки. Полное обсуждение этих методов содержится, например, в книге
Джеффриса и Джеффрис (Свирлс) [1, § 17.04-17.05] *). Для наших целей
достаточно найти первый член асимптотического разложения, следуя
рассуждениям Кельвина.
Разложим функции F (х) и % (х) в (11.20) в ряды Тейлора в окрестности х =
к. Доминирующий вклад дадут члены
F(x)~F(fc),
X (х) ~ % (к) +-L (х -kf х" (к)
при условии, что х" (к) ф 0. В таком приближении искомый вклад равен
F (к) ехр { - i% (к) t} | ехр {-(х - к)2 %" (к) t j du.
Оставшийся интеграл сводится к вещественному интегралу ошибок
j e-"z2 dz = (я/а)1/2
поворотом контура интегрирования2) на ±л/4; знак следует выбрать такой
же, как знак %" (к). Окончательно получаем
7Ту-'Д)Т ехР {sgn х" } ¦
*) См. также Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, изд. 4, М.-Л., "Наука", 1973; Федорюк М. В.,
Метод перевала, М.-Л., "Наука", 1977.- Прим. ред.
2) Это соответствует переходу к линии скорейшего спуска.
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
358
Если существует несколько стационарных точек х = ft, удовлетворяющих
уравнению (11.21), то каждая дает аналогичный вклад и имеем
X ехр | ikx-iW (к) t-sgn W" (к) |. (11.22)
Для получения следующего члена асимптотического разложения необходимо
продолжить ряды Тейлора до члена (х - к)2 для F (х) и до члена (х - ft)4
Для % (х). Два следующих члена необходимы, поскольку нечетные степени при
интегрировании выпадают. Когда это сделано (предпочтительнее с
использованием метода скорейшего спуска), дополнительный член можно
записать в виде множителя
14. mi 241
~т~ f|W"| \ 2F 2 И" F ' 24 W"2 8 W" )
при соответствующем члене в (11.22). Столь сложное выражение получается
из-за необходимости работать с двумя следующими членами рядов Тейлора для
F и В общем случае асимптотическое поведение описывается дальнейшим
разложением по отрицательным степеням t с коэффициентами, зависящими от
ft.
До сих пор смысл выражения "большие значения ?" оставался неясен. Теперь
можно потребовать, чтобы поправочный член в (11.23) был малым; t должно
быть большим в шкале времени, связанной с дисперсионным соотношением и
шкалой длин из начальных условий. Для начальных условий в виде четко
выраженного пика с малой характерной длиной величины F' и F" малы и
требуется, чтобы t было большим по сравнению с характерным периодом для W
(ft), что в свою очередь задается параметрами уравнения. В предельном
случае начальных условий в виде 6-функции величина F постоянна и F' - F"
= 0.
Для частного случая с двумя модами <л = ±W (х) полное решение дается
формулой (11.16). Предположим, далее, что производная W' (х) монотонна и
положительна при х > 0 (это обычно выполняется), и рассмотрим
асимптотическое поведение выражения (11.16) для ж>0. Если W (х) -
нечетная функция, то производная W' (х) - четная функция и уравнение
(11.21) имеет два корня ±ft. Соответствующие два вклада в (11.22) можно
объеди-
11.3. Асимптотическое поведение решения
359
нить, поскольку Fx (-ft) - F* {к), согласно (11.17), и получить
"P-ZBefF.Wl^р=х
X ехр |ikx - iW (k)t - i~- sgn W" (&)}),
t oo, ~>0, (11.24)
где к (x, t) - положительный корень уравнения (11.21), определяемый
соотношением
k(x,t): W'(k)=^, ft> 0, -f>0. (11.25)
Для нечетной функции W (х) второй интеграл в (11.16) не дает вклада в
решение при х > 0; он дает соответствующее выражение для х < 0.
Если W (х) - четная функция, то производная W' (х) - нечетная функция,
уравнение (11.21) имеет один корень к при х > 0 и этот корень
положителен. Поэтому первый интеграл
