Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Клейна - Гордона, например, энергетическое уравнение принимает вид
Ж (т^ + Т"% + Т PV)+^J (-а2Ф*фх,.) = 0,
и для медленно изменяющегося волнового пакета cp ~ a cos (0 + rj)
получаем следующее усредненное уравнение: д% . д-F} __ "
dt ' dxj '
где
g = -L((D2-i-a2&f-l-p2)a2, .f j = -L а?(ик}а2.
При помощи дисперсионного соотношения можно проверить, что
(11.69)
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
374
и записать усредненное энергетическое уравнение так:
-f-+-4<C,"> = 0. (11.70)
Полная энергия в любом объеме, точки которого движутся с групповой
скоростью, остается постоянной. Действительно,
j gdF= j ~dV+ ( nCjnjdS,
jL
dt
V(n K(t)
где S (t) - поверхность, ограничивающая объем V (t), n3 - внешняя нормаль
к S (t), a C3n3 - нормальная скорость. В силу теоремы о дивергенции и
уравнения (11.70), эта величина равна нулю. В характеристической форме
уравнение (11.70) имеет вид
d% dCj & dxi "
-Ш-=-ёГ3Ш на w = c*(k)'
так что плотность энергии убывает вследствие расхождения dCjldXj
групповых линий. Для однородной среды вектор к остается постоянным на
групповых линиях (см. уравнение (11.46)). Следовательно, поскольку
g=/(k)a2, величина а2 удовлетворяет тем же самым уравнениям. Это можно
установить и непосредственно из уравнения (11.70), обобщив надлежащим
образом (11.62). Для центрированной волны, соответствующей
асимптотическому выражению (11.41), вектор к определяется из условий
= (к).
Таким образом, мы получили, что
da2, fta2
dt t '
где п - число измерений. Это согласуется с выражением для амплитуды в
(11.41).
Мы видим, что усредненное энергетическое уравнение действительно дает
правильное описание распределения амплитуды, согласующееся с найденным
ранее. Это уравнение удовлетворительно в том смысле, что оно обеспечивает
подход, не связанный с преобразованием Фурье, и таким образом позволяет
надеяться на обобщение, но в своей настоящей форме оно не вполне
удовлетворительно в том смысле, что представляющиеся общими результаты
(11.69) и (11.70) появляются только после выкладок, основанных на
специфике конкретных уравнений. Если повторить те же самые рассуждения
для других линейных уравнений из примеров (11.7)-(11.9), то получатся в
точности такие же окончательные результаты (11.69) и (11.70).
11.7. Вариационный подход
375
Например, энергетическое уравнение, соответствующее примеру (11.7), дает
плотность энергии
4 Фг + i "2Фlj + 4- Р2ФIjt и вектор потока энергии - "2ф"фх} - Р2ф(ФНхГ
Средние значения, полученные в результате: 1) подстановки ~ a cos (0 +
т]), 2) пренебрежения производными от а, ц, kt и со и 3) замены cos2 (0 +
ц) и sin2 (0 + ц) их средними значениями, равными одной второй, таковы:
% = (со2 -j- а2/с| -j- р2со2/с|) а2,
,У~7- = 4 - р2со:!/с,) а2.
При помощи дисперсионного соотношения
0)= А пк -, Л = |к|,
l + p2fc2 1
проверяется, что
и усредненное энергетическое уравнение опять можно записать в виде
Те же самые результаты оказываются справедливыми для оставшихся примеров
(11.8) и (11.9).
По-видимому, ясно, что эти важные общие результаты должны быть
установлены раз и навсегда при помощи общих рассуждений, не требующих
каждый раз детального вывода. Такие рассуждения (и нечто гораздо большее)
дает вариационный подход.
11.7. Вариационный подход
Этот подход первоначально был развит для гораздо более сложного случая
нелинейных волновых пакетов и является довольно разносторонним. Полное
изложение будет дано после дальнейшего развития рассматриваемых вопросов,
но здесь мы можем изложить его в степени, достаточной для того, чтобы
завершить предыдущее обсуждение.
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
376
Напомним сначала некоторые детали вариационного исчисления. Вариационный
принцип
б/ = б j ^ L{(ft, фх, ф) dtdx = 0 (11.71)
R
утверждает, что интеграл J [<р] по конечной области R должен быть
стационарным при малых изменениях функции <р в следующем смысле.
Рассмотрим две близкие функции <р (х, t) и ф (х, t) + + h (х, t), где h
"мало"; поскольку в выражении (11.71) фигурируют первые производные, обе
функции считаются непрерывно дифференцируемыми. Малость функции h в этом
контексте измеряется "нормой"
||/i||=max|/i| -j- max \ht | -{- max | hx.\.
Функция L обычно довольно проста, и заведомо можно считать, что она имеет
ограниченные непрерывные вторые производные. Разложив ее в ряд Тейлора,
получим
J [ф-f/i] - J [ф]= j j {Lqht + L^.hXi-\-Lyh}dtdx.-{-0(Pi\f),
R
(11.72)
где символ (ptj означает дер/дх). Линейное по h выражение называется
первой вариацией бJ [ф, h\. Вариационный принцип (11.71) требует, чтобы
бJ [ф, /г] = 0 для всех допустимых функций h. Если ограничиться функциями
h, обращающимися в нуль на границе области R, то после интегрирования по
частям (с использованием теоремы о дивергенции) мы получим
б/[Ф, h]^= j j { -LLq' - LV'I + Lv} hdtdx. (11.73)
R
Потребуем теперь, чтобы выражение (11.73) обращалось в нуль для всех
таких h. Согласно обычным соображениям непрерывности, отсюда следует, что
