Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 132

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 215 >> Следующая

1Ч + ^Ч,--^ = 0- (11.74)
(Если выражение (11.74) отлично от нуля, скажем положительно, в какой-
либо точке, то найдется малая окрестность, в которой оно оставалось бы
положительным; выбрав функцию h положительной в этой области и равной
нулю в остальных точках, получим проти-' воречие с требованием обращения
в нуль выражения (11.73).)
Эти рассуждения естественным образом обобщаются на случай, когда L
содержит производные функции ф второго или более
11.7. Вариационный подход
377
высокого порядка. Соответствующее вариационное уравнение х) имеет вид
Т ^ Т д г I д2 т I
L*- Ut 9t~7tej +W LVtt +
-\~a^- La, . 4- Lv 0, (11.75)
1 dtdxj vi<J ¦ dxjdxfr Jk в котором легко узнать результат повторного
интегрирования по частям. Уравнения (11.74) и (11.75) являются
уравнениями в частных производных для <p (х, t), причем уравнениям такого
вида можно дать эквивалентную вариационную формулировку. Вариационный
принцип в случае нескольких функций ф(">(х, t) приведет к уравнению
(11.75) для каждой ф(">(х, t) (поскольку их можно варьировать независимо)
и, следовательно, к системе уравнений. Вопрос о нахождении вариационного
принципа для данной системы уравнений может оказаться трудным, но обычно
тривиален, когда имеется только одно уравнение. Отметим, что лагранжианы
L для примеров (11.6) -(11.8) соответственно равны
l=\ ф?-4" а2<р*; -U Р2(Р2'
1 = ±(р?-±-а2(р1-1-±р\!х., (11.76)
? = 4-ф<-----^-У2(р2хх,
а пример (11.9) включается в эту схему подстановкой ф = фх и выбором
L = T ^х + Т
Для изучения медленно меняющихся волновых пакетов, для которых
Ф ~ a cos (0 + ц), (11.77)
вычислим теперь лагранжиан L в точности таким же образом, как в
предыдущем параграфе вычислялись плотность и поток энергии. Это значит,
что в лагранжиан подставляется выражение (11.77), производными от а, ц,
со, к пренебрегают как малыми и осуществляется усреднение по периоду.
Результат в каждом случае будет функцией X (со, к, а); в частности, для
примеров (11.76) имеем.
?¦=-1(0/-а2к2-р2) а2,
Х = -^-(о>2- azk2 + Р2(о2/с2) а2, (11.78)
? = -1(со2-у2к4)а2.
1) Обычно это уравнение называют уравнением Эйлера.- Прим. перев.
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
378
Постулируем теперь "усредненный вариационный принцип"
.для функций а (х, t), 0 (х, t). Мы поступили аналогичным образом,
рассматривая закон сохранения (11.59), но предложенный принцип гораздо
менее нагляден и его еще нужно детально изучить. Однако, приняв этот
принцип, мы немедленно увидим, что он дает •общий и чрезвычайно мощный
подход.
Поскольку производные от а отсутствуют, вариационное уравнение (11.75)
для вариации функции а сводится к следующему:
В эти выражения входят только производные от 0. Вследствие итого, после
того как получены вариационные уравнения, обычно удобпо работать снова с
со. к и а, взяв за основу систему уравнений
Уравнения (И.82) являются условиями совместности и необходимы для
существования фазы 0.
Уравнение (11.80) является функциональным соотношением между со, к, а и
не может быть ничем, кроме дисперсионного соотношения. Для примеров
(11.78) легко проверить, что это действительно так. Для любой линейной
задачи лагранжиан L является квадратичной функцией от ф и ее производных,
и как следствие X выглядит так:
Тогда, согласно (11.80), дисперсионное соотношение должно иметь вид
и функция G (со, к) в X есть не что иное, как дисперсионная функция. Не
нужно даже вычислять X в каждом случае!
Это все неожиданные выгоды. Основная цель - найти общий •способ вывода
амплитудного уравнения, и фактически мы уже включили кинематическую
теорию, предложенную в § 11.5 для описания геометрии волнового процесса.
Уравнения (11.80) и (11*82) дают в точности такую же теорию.
(11.79)
б а: Ха = 0.
Вариационное уравнение для 0 имеет вид
Ха = 0,
(11.80)
dki I дс° dt ' dxi
(11.81)
(11.82)
X = G (со, к) а2.
(11.83)
G (со, к) = 0,
(11.84)
11.7. Вариационный подход
379
Заметим, что стационарное значение для X, как мы показали, равно нулю.
Для тех простых случаев, когда лагранжиан L равен разности кинетической и
потенциальной энергий, это доказывает (с учетом последующего обоснования
принципа (11.79)), что их средние значения совпадают. Это хорошо
известное равнораспределение энергии для линейных задач.
Переходя теперь к амплитудному уравнению (11.81), замечаем, что его можно
записать в виде
(и-85)
В принципе уравнение (11.84) дает нам со = W (к), так что равенство
G (!F(k), к} = О выполняется тождественно. Следовательно,
и групповая скорость выражается формулой
Обозначим Ga (Вг, к) через g (к); тогда уравнение (11.85), можно записать
так:
{g (k) a*} + JL {g (к) а (к) а2} = 0. (11.87)
В силу (11.82), имеем
dkj р dki " dkj dkj "
dt 1 J dxj ' dxj <)Xj
Используя эти соотношения, исключим из уравнения (11.87) множитель g (к)
и получим амплитудное уравнение
-?-н?г(^=о.
Таким образом вариационная система (11.80)-(11.82) дает в точности
систему уравнений, рассмотренную в последних двух
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed