Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
распространяются с соответствующими групповыми скоростями С (к). В момент
времени t каждое конкретное значение к будет находиться на расстоянииг=С
(к) t. Следовательно, к (г, I) удовлетворяет соотношению
С (*) = ¦?. (12.18)
Поэтому для гравитационных волн на глубокой воде (12.5) мы имеем
*=-6-' й = 1&- (12Л9>
Это осесимметричный аналог одномерной задачи, рассмотренной в § 11.4.
Указанная весьма простая формула для ю сравнивалась Снодграссом и его
сотрудниками [1] с данными наблюдения за волнением, вызываемым штормами в
южной части Тихого океана. Оказалось, что на расстояниях порядка 2000
миль частота линейно зависит от t и коэффициент пропорциональности
позволяет с большой точностью определить расстояние до шторма.
Гл. 12. Картины волн
392
То же явление в меньших масштабах - это характерные кольца, расходящиеся
от брошенного в пруд камня или от другого всплеска. Для них
удовлетворяется равенство (12.18), где групповая скорость С (к)
определяется формулой (12.14). Поскольку С (к) имеет минимальное значение
около 18 см/с, существует круг спокойной воды радиуса 18? см. Вне этого
круга для каждого rit допускаются два значения к: одно на гравитационной
ветви, другое на капиллярной, так что возникают два накладывающихся
волновых пакета. Конечно, энергия, соответствующая различным волновым
числам, определяется исходным возмущением. Волны, длины которых имеют тот
же порядок, что и размеры объекта, обладают наибольшими амплитудами и
наиболее заметны. Для объекта с характерной длиной I главные кольца будут
иметь радиусы порядка г = С (л Ч) I.
12.3. Волны на поверхности стационарного потока
Волны, создаваемые препятствием в стационарном потоке со скоростью U
вдоль оси ху, можно рассматривать как волны, создаваемые препятствием,
движущимся со скоростью U в отрицательном направлении оси ay В случае
двумерного препятствия и постоянного по х2 потока не отрываются от
препятствия и представляются стационарными при наблюдении с препятствия
только те волны, для которых
с (к) - U. (12.20)
Мы снова рассматриваем ситуацию, когда применимы соотношения (12.12) -
(12.14). При U <С ст уравнение (12.20) не имеет решений и, следовательно,
стационарный волновой пакет отсутствует. В этом случае локальпые
возмущения затухают вдали
от препятствия и не дают вклада в асимптотическую картину
волн. При U > ст уравнение (12.20) имеет два решения: одно из них, kg,
соответствует гравитационной ветви, а другое, кТ,~ капиллярной ветви. При
этом kg <i кт и кт > к1п, откуда, в силу равенств (12.13) - (12.14),
имеем
С (ке) < с (kg) = U, (12.21)
С (kj) > с (кт) = U. (12.22)
Следовательно, гравитационные волны kg имеют групповую скорость, меньшую
U, и находятся за препятствием, а капиллярные волны кт имеют групповую
скорость, большую U, и находятся впереди препятствия. Соответствующая
картина волн изображена на рис. 12.1.
Полученный результат можно интерпретировать как вывод условий излучения в
задаче о стационарном потоке на основе
12.4. Корабельные волны
393
понятия групповой скорости. Поэтому интересно вывести данный результат во
всех деталях непосредственно из точного решения в виде интеграла Фурье и
посмотреть, каким образом условие, накладываемое групповой скоростью,
следует из обычного условия излучения, принятого в стандартном методе
решения задач с граничными условиями. Кроме того, такое полное решение
дает
V>cm
Рис. 12.1. Схема капиллярных волн (вверх ио течению) и гравитационных
волн (вниз по течению) на поверхности потока, создаваемых препятствием.
амплитуды волн. Асимптотическое приближение устанавливает только, что
амплитуда остается постоянной для каждого волнового пакета, а найти
значения этих постоянных можно лишь на основе детального анализа
начальных условий. Чтобы не прерывать обсуждение кинематики, не будем
приводить здесь детали, а отложим их до § 13.9.
12.4. Корабельные волны
Если препятствие имеет конечный размер вдоль оси ,г2, то на поверхности
воды образуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы
ограничимся задачей о гравитационных волнах на глубокой воде и используем
дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн,
создаваемые объектами длиной I А,н, движущимися по воде глубиной h I (что
обычно выполняется для корабельных волн).
Наиболее удивительный результат, полученный впервые Кельвином, состоит в
том, что на глубокой воде волны сосредоточены в клинообразной области с
углом полураствора arc sin V3 - 19,5°. Этот угол не зависит ни от
скорости (при условии, что скорость постоянна), ни от формы объекта и
определяется тем, что для глубокой воды С/с = V2.
Приведенное ниже простое доказательство принадлежит Лайт-хиллу [6].
Рассмотрим "корабль", движущийся со скоростью U и переместившийся из
точки Q в точку Р (см. рис. 12.2) за время t. Гребень волны будет
оставаться неподвижным относительно корабля в том случае, когда
Ссовф = с (к), (12.23)
Гл. 12. Картины волн
