Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Более очевидный способ избежать интегралов Фурье и найти путь к обобщению
на задачи с неоднородной средой и на нелинейные системы состоит в
подстановке соответствующих асимптотических рядов непосредственно в
исследуемые уравнения. Для рассматриваемых сейчас линейных задач подходят
ряды вида
<р - е"(х, о \ Ап (х, t), (11.95)
о
где Ап - последовательные члены разложения по характерному малому
параметру. В данном случае целесообразность такого выбора следует из
асимптотической формулы (11.27). Ряд (11.95) является также обобщением
ряда геометрической оптики (7.62). В рассмотренных, в части I
гиперболических задачах производные 0, и 0Х были связаны однородным
соотношением, так что для фиксированной частоты со можно было положить 0
(х, t) = соS(x, /), как там и было сделано. Теперь дисперсионное
соотношение между 0/ и 0Х имеет более общий вид и допускается непрерывное
распределение частот.
Подход, использующий разложение (11.95), вполне пригоден для ряда
линейных задач, включая задачи с неоднородной средой. Но (даже в большей
степени, чем это было обнаружено при обсуждении усредненного
энергетического уравнения в § 11.6) после длительных вычислений,
связанных со спецификой данной задачи, мы в конце концов обнаруживаем,
что полученные результаты имеют общий характер. В случае обобщений на
нелинейные задачи корректная форма разложения не сразу очевидна, выкладки
могут стать угрожающими и общие результаты снова окажутся погребенными
под ненужными деталями. Эти недостатки устраняются применением
разложений, подобных (11.95), непосредственно к вариационной формулировке
задачи. В сущности именно так оправдывается вариационный подход. Но для
этого требуется известная изобретательность, и в качестве подготовки
полезно
11.8. Использование асимптотических разложений
383-
обсудить здесь прямое применение разложения (11.95) к изучаемым
уравнениям. Достаточно рассмотреть одномерный случай.
Разложение, изученное в § 11.3, справедливо при t-*- оо, xlt фиксировано.
В этом случае 0 (х, t) и Ап (х, t) имели вид
0 {х, t) = ё (xlt), Ап (х, t) = t~n~U2Bn (x/t). (11.96)'
Разложение (11.95) проводится по возрастающим степеням t~L (или, строго
говоря, по степеням тIt, где т - характерный интервал времени,
определяемый параметрами уравнений и начальпыми условиями). Чтобы техника
была гибкой и были видны общие черты использования разложения (11.95) в
различных ситуациях, мы не будем использовать равенства (11.96) в явном
виде, а вместо этого потребуем, чтобы выполнялось следующее условие:
(tm)2,а-?. = 0(Ап+1), ^ = 0(Ап"), ..., (11.97)
т. е. чтобы каждое дифференцирование увеличивало порядок на единицу.
Аналогичным образом 0J и 0( - величины порядка О (1), и каждое следующее
дифференцирование увеличивает их порядок на единицу. Увеличение порядка
при дифференцировании означает, что 0(, 0Х и Ап являются медленно
изменяющимися функциями. Это общее свойство разложений (11.95) не зависит
от того, по какой величине проводится разложение: по тIt или по какой-
либо другой.
Для иллюстрации возьмем одномерное уравнение Клейна - Гордона
Ф" - а2ф,.д. + р2ф = 0.
Подставляя (11.95) и последовательно приравнивая нулю члены одинакового
порядка, получаем
(0?-а202-р2)Л = О,
(0?-а 20|-p2Ml_
- {2iQ,A0l - 2га20д/1Ол. + i (0,, - а20тл) А0} = 0,
(01 - а20|-р2) А.2~
- {2iBtAlt-2iazexAlx-l-i (ва - а2вхх) Л,} -- Л0Н - а2Л0хх
и т. д. Первое уравнение исключает соответствующий член в последующих
уравнениях. Если теперь ввести
к = 0Х, со = -0(, то цепочка примет вид
со2 - а2/с2-р2 = 0, (11.98)
2соАоt ~Т 2а2кА0х (со( -(- сс2кх) Ад = 0, (11.99)
2соЭ1( + 2а2кА1х4-(со( -|- а2кх) At= -i (Ат - а2А0хх) (11.100), и т. д.
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
384
Первое уравнение является дисперсионным соотношением между со и к, и если
мы предпочитаем работать с этими величинами, а не с фазой 0, то следует
добавить еще условие совместности
kt "Ь СОх = 0. (11.101)
Эти уравнения определяют 0, со, к в точности так, как описано в § 11.5.
Уравнение для А 0 можно записать в виде
4 (4- )+-?-( т а2кА°А*°)=°- 1 Л02)
Поскольку ] А012 = а2, и в этом случае
^=±(со2-а2/с2-р2)а2,
уравнение (11.102) совпадает с уравнением для волнового действия
(11.81). Интересно, что естественным образом получается именно уравнение
для волнового действия, а не энергетическое уравнение, хотя, конечно, из
(11.99) можно получить и энергетическое уравнение. Заметим, что без
использования лагранжиана этот момент остался бы незамеченным.
Обычно интересуются только первым членом разложения и, следовательно,
первыми двумя уравнениями, а именно (11.98) и (11.99). Однако после того,
как 0 и А0 определены, Аг находится из уравнения (11.100), А2 - из
следующего уравнения цепочки и т. д.
Легко проверить, что эти уравнения имеют частные решения вида (11.96), и
в этом случае разложение согласуется с разложением, полученным в § 11.3
при помощи интегралов Фурье. Подходящим решением уравнений (11.98) и
