Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
На первый взгляд можно ожидать, что уравнение (11.87) представляет собой
усредненное энергетическое уравнение (11.70). Но примеры показывают, что
множитель / (к) в | и множитель g (к) не совпадают. В то же время
существует стандартный метод, ассоциирующий с вариационным принципом
соответствующее энергетическое уравнение. Теорема Нётер утверждает, что
каждой группе преобразований, относительно которой лагранжиан инва-
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
380
риантен, соответствует свое уравнение сохранения (см. Гельфанд и Фомин
[1], стр. 177). Если лагранжиан инвариантен относительно сдвига по t, то
соответствующее уравнение всегда является энергетическим уравнением или
кратным ему. Поскольку лагранжиан в (11.79) инвариантен относительно
сдвига по t, это утверждение к нему применимо и соответствующее
энергетическое уравнение оказывается таким:
(оХа = 0. (11 -88)
В данном случае вместо того, чтобы проследить во всех деталях применение
теоремы Нётер, достаточно заметить, что уравнение (11.88) вытекает из
системы (11.80)-(11.82). Это и есть энергетическое уравнение. Легко
проверить, что оно согласуется с предыдущими примерами.
Для рассматриваемых здесь линейных задач мы обнаружили, что стационарное
значение X равно нулю. Отсюда для плотности энергии % и вектора потока
энергии имеем
Ш = оХа, j - -coXk.- (11.89)
Поэтому величина Ха фактически равна
(И-90)
и уравнение (11.81) или (11.87) можно записать в виде
Из (11.83) и (11.89) имеем
% - toGaa2,
Jf i = - b)Gh.a2 = Cjg,
что является общим доказательством соотношения между JF и %.
Рассматриваемый общий подход имеет еще одно преимущество. Он привлекает
особое внимание к величине (11.90) и к уравнениям (11.81) и (11.91).
Величина g/co хорошо известна в классической механике как адиабатический
инвариант для медленных модуляций линейной колебательной системы. В
дальнейшем мы покажем, что Ха является аналогичной величиной в нелинейном
случае. Таким образом, эти понятия обобщаются на случай волнового
движения. Вместо инварианта мы имеем уравнение сохранения (11.81),
характеризуемое времениподобной адиабатической величиной Ха и
пространственноподобными величинами -Xh.. Это уравнение сохранения
получило название закона сохранения "волнового действия".
11.7. Вариационный подход
381
Существует также уравнение сохранения "волнового импульса", аналогичное
уравнению (11.88), где xt ъ t поменялись ролями
¦Ж <&%") + щ(~ kiXhi + Х= °' '92>
Его легко проверить при помощи системы (11.80)-(11.82). Отметим, что
плотность импульса равна
(И.93)
это вектор, направленный вдоль к и имеющий длину g/c, где с - фазовая
скорость. Мы опять получили общее доказательство знакомого результата,
который трудно установить другими методами.
Неоднородная среда
Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные
уравнения (11.80)-(11.82) остаются неизменными, если среда медленно
изменяется с изменением х и t. Это имеет место, например, в том случае,
когда параметры а, р, у в выражениях (11.76) зависят от х и г. Если
изменение за один период мало, то усредненный лагранжиан можно получить
так же, как и раньше, пренебрегая изменениями параметров а, |3 и у за
один период (и вкладами производных от со, к, а и т]). Тогда усредненный
вариационный принцип (11.79) предлагается в прежнем виде с единственным
исключением: теперь X зависит от х и t явно, а не только через функции а
(х, t) и 6 (х, t). Однако вариационные уравнения остаются без изменения;
следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные,
возникающие при преобразованиях уравнений. В частности, энергетическое
уравнение, как легко проверить, принимает вид
JL(oXa-X) + -^r (-(c)#*,)= -Xt. (11.94)
Аналогичным образом в правой части уравнения (11.92) для импульса
добавляется член Хх.. Если параметры среды зависят от t, то энергия уже
не сохраняется. Если они зависят от х, то импульс уже не сохраняется.
Заметим, однако, что волновое действие сохраняется во всех случаях. Это
снова указывает на преимущество уравнения (11.81) над энергетическим
уравнением в теории модуляций.
Нелинейные волновые пакеты
Отметим в заключение, что в вариационном подходе требуются лишь очень
незначительные изменения при изучении модуляций нелинейных волновых
пакетов. Основные вопросы связаны с видом функционального выражения,
заменяющего (11.77), с деталями
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
382
усреднения для нахождения функции X и в общем случае с появлением в
полном описании других общих величин, аналогичных со, к и а. В простейших
случаях, однако, последние не появляются и, как только функция ,5?(со, к,
а) найдена, система
(11.80)-(11.82) остается применимой. Основное существенное отличие
состоит в том, что функция X уже не пропорциональна а2 и уравнения
(11.80) и (11.82) неотделимы от (11.81). Этим вопросам и тщательному
обоснованию изложенной выше теории будет посвящена гл. 14.
11.8. Непосредственное использование асимптотических разложений
