Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и соответствующее выражение для потока энергии
а2сока2 sin2 (0 -f- ij). (11.52)
В задачах, содержащих производные более высоких порядков,
возникают дополнительные члены, включающие производпые от со и к, но ими
можно пренебречь, поскольку со и к также являются медленно изменяющимися
величинами.
Поскольку нас интересуют изменения величин со, к, а, а не детали
осцилляции, рассмотрим средние значения выражений (11.51) и (11.52).
Средние значения функций cos2 (0 + ц) и sin2 (0 + 1]) по одному периоду
равны одной второй, так что для средних значений плотности энергии и
потока энергии имеем следующие формулы:
% = (со2а2к2 -L р2) а2, (И .53)
JF = а2ыка2. (11.54)
В нашей конкретной задаче дисперсионное соотношение имеет вид со = а2к2 +
р2; (11.55)
поэтому
Ш (а2к2 -[- р2) а2, .1 - а2к ]/а2к2 + Р2 а2. (11.56)
11.6. Распространение энергии
371
Групповая скорость выражается формулой
<И'57)
и мы получаем важный результат
JF = С (к) g, (11.58)
который, как оказывается, носит общий характер. Исходя из
интуитивных предположений об общем балансе энергии, хочется
ввести закон сохранения "усредненной" энергии:
Т+-ЕГ<"0 = 0' (11.59)-
который явится уравнением для определения модуля амплитуды а. Это
уравнение представляет собой дифференциальную форму следующего
утверждения: полная энергия между двумя любыми групповыми линиями
остается постоянной. Действительно, если рассмотреть энергию
Л'2 (О
E(f)= j %dx (11.60)
Xl(t)
в интервале между точками .г, и х2, движущимися с групповыми скоростями С
(А'Д и С (к2) соответственно, то
Х2
¦f=j (11.61)
М
в силу (11.59), эта величина равна нулю. Обратно, уравнение (11.59)
представляет собой просто предел соотношения (11.61) при х2 - -*¦ 0.
Такое поведение было обнаружено в § 11.4 для а2, а не
для %.
Однако 5?= / (к) а2, и если это выражение подставить в
уравне-
ние (11.59), то результат можно записать в виде
1т{%+?(Са')}+Гта*{%+С-Ц }=0. (11.62) Поскольку (см. (11.39))
В-±с.
дх
(11-63)
получаем
-?+?<е"*) = 0. (11.64)
Мы видим, что если выполняется уравнение (11.63), то любую
функцию от к можно внести в уравнения (11.59) и (11.64) (или
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
372
вынести из этих уравнений). Далее, согласно тем же рассуждениям, что и
для {?, уравнение (11.64) можно рассматривать как дифференциальную форму
следующего полученного в § 11.4 результата: интеграл
Х2 (i)
Q{t)- ^ a2dx (11.65)
XI (t)
остается постоянным между двумя групповыми линиями. Это лишний раз
подтверждает уравнения (11.64) и (11.59). Прямое доказательство будет
приведено ниже.
Можно также отметить, что характеристические формы уравнений (11.63) и
(11.64) имеют вид
-§=0' ^=-c'(fc)M2, ^=С(к), (11.66)
(Во втором уравнении производную кх можно рассматривать как известную
функцию, поскольку сначала находится функция к (х, t); это -
исключительный случай примера 7 из § 5.2.) Групповая скорость С (к)
фигурирует как двойная характеристическая скорость в соответствии со
своей двойственной ролью, отмеченной в § 11.4.
Асимптотическое решение, полученное в § 11.3, является частным случаем
центрированной волны, когда k (х, t) представляет собой функцию от xlt,
определяемую из уравнения
т=°(к)-
В этом случае уравнение для амплитуды имеет вид da2
_______________________________ а2
~Ж ~~ Г*
Поскольку к тоже можно использовать как характеристическую переменную, то
решение этого уравнения можно записать в виде
a - t~i,2A (к),
где Л (к) - произвольная функция. Это согласуется с выражением (11.28) и
снова подтверждает справедливость нашего подхода. Конечно, функцию Л (к)
нельзя найти одними асимптотическими исследованиями, не обращаясь к
начальным условиям.
В рассматриваемой задаче Коши мы знаем, что в действительности функция Л
(к) дается выражением (11.28), и интересно отметить, что, в силу этого
выражения, энергия Е (t) между групповыми линиями к = кг и к = к2,
определяемая равенством (11.60),
11.6. Распространение энергии
373
составляет
E(t) = &t]f{k)F*W%№ dx =
XI
k2
= 8я j / (к) Ft (к) Ft (к) dk, (11.67)
hi
где / (к) - множитель V2 (а2к2 + |32), фигурирующий в формулах (11.56).
Согласно (11.50), точная полная энергия равна
E"omi= j (4-v?+4"*p-+4-PV):&.
- оо
Используя точное решение (11.16) и соотношения (11.18), ее можно
представить в виде
?Иолн= 8я j / (и) Fi (х) Ft (х) dx. (11.68)
Это выражение справедливо для всех моментов времени как до
дисперсии в волновом пакете, так и после нее; оно указывает, что
энергия распределена по всей области изменения волновых чисел. Но после
дисперсии область изменения волновых чисел явным образом распределяется
по х. Выражение (11.67) для Е (t) показывает, что с интервалом кг <; х <;
к2 продолжает ассоциироваться то же самое количество энергии. Таким
образом, энергия, соответствующая любому интервалу волновых чисел,
сохраняется.
Энергетические соображения, использованные при выводе соотношений (11.58)
и (11.59), легко обобщить на большее число измерений. Для уравнения
