Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 135

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 215 >> Следующая

(11.101) является функция к (x/t), определяемая из уравнения
j- = С(к).
Тогда уравнение (11.102) в любой из форм дает
A = r1/2z?0(|).
Поскольку к есть функция от xlt, этот результат можно также записать в
виде
Л0 = Г1/2^0 (к),
что согласуется с (11.28). Конечно, вид функции J?0(fc) определяется
только по начальным условиям. В этом конкретном случае разложение
неприменимо на ранних стадиях и использование преобразования Фурье или
его эквивалента неизбежно. После того как функция А0 найдена, из (11.100)
можно найти Аг, причем
11.8. Использование асимптотических разложений
385
в результате получится (11.23). Фактически последующие члены разложения
гораздо проще находить этим прямым методом, чем распространением метода
стационарной фазы на высшие порядки.
Разложения не ограничиваются центрированной волной, они применимы к
любому волновому пакету, медленно изменяющемуся в смысле (11.97).
Например, можно рассмотреть волновой пакет, образованный модулированным
источником с медленными изменениями частоты и амплитуды. Если .г и t -
нормированные переменные, полученные делением исходных х и t на
характерные длину волны и период соответственно, то генерируемые
источником модуляции будут функциями от et и соответствующие выражения
для 0 и Л " будут иметь вид
0 = е-1 0 (аг, et), Ап = е,!А" (ex, et), (11.103)
где е - отношение характерного периода к временному масштабу модуляций.
Эти величины медленно изменяются в смысле (11.97), причем ? является
соответствующим малым параметром. Для уравнепия Клейна - Гордона
результирующие уравнения имеют вид (11.98) - (11.100). Они отвечают
последовательным членам порядков 1, ?, е2 соответственно, но нет
необходимости в явном виде выписывать зависимость от е, раз мы следуем
упорядочиванию (11.97).
Неоднородная среда
Более интересен подобный предыдущему случай, когда модуляции возникают за
счет медленных изменений среды. Например, можно рассмотреть первоначально
однородный волновой пакет, входящий в неоднородную среду, параметры
которой медленно изменяются на характерной длине L. Если к - характерная
длина волны (скажем, длина волны исходного волнового пакета), то малым
параметром будет е - k/L. В нормированных переменных среда описывается
функциями от ех и для описания модулированного волпового пакета подходят
выражения (11.103). Аналогичная формулировка применима и к среде,
медленно меняющейся во времени.
Для иллюстрации опять обратимся к уравнению Клейна - Гордона. Для
неоднородной среды это уравнение обычно получается в самосопряженной
форме
{а2(ж> *)-?} + P(r)(*" Оф = 0- (11.104)
Будем считать, что х, t уже нормированы на характерные длину волны и
период (можно использовать характерные значения для ар-1 и Р"1), и чтобы
включить пространственные и временные вариации в общий анализ,
предположим, что
а~а(ех, et), p = P(e;r, et). (11.105)
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
386
Как и ранее, мы не вводим зависимость от е в явном виде, а работаем
непосредственно с выражениями (11.95) и (11.104), подразумевая, что все
функции
k = Qx, ю=- ви А0, а, р
имеют порядок О (1) и что каждое дифференцирование или увеличение индекса
у А повышает порядок на единицу. В полученной цепочке уравнений первые
два таковы:
и2 _ а2к2 _ р2 = 0j (11.106)
2coAot + 2а2кА0х + + а2кх + %каах) А0 = 0; (11.107)
к ним следует добавить условие совместности
f+f = 0. (11.108)
Система уравнений (11.106) и (11.108) для функций к, со и 0
совпа-
дает с уравнениями, полученными сначала на основании более интуитивных
соображений в § 11.5, а затем при помощи вариационного подхода в § 11.7.
Как уже было отмечено в § 11.5, значения волнового числа к
распространяются с групповой скоростью dto/дк, определенной из (11.106),
но ни групповая скорость, ни значения к не обязаны оставаться постоянными
на групповой линии.
В данном случае групповая скорость равна а2к/со, так что характеристики
для уравнения (11.107) те же, что и для уравнения (11.108), и Л 0 в
принципе можно найти интегрированием вдоль этих характеристик.
Однако основной момент состоит в том, что уравнение (11.107) все еще
можно записать в виде уравнения сохранения
(i-onVlS)t+ (-1агм0Л§)я = 0. (11.109)
Таким образом, уравнение для волнового действия (11.102) остается
справедливым и в неоднородной среде, когда и а, и соотношение между со и
к зависят от ж и t. Это согласуется с тем, что утверждается в
вариационном подходе.
Действительно, рассмотрим выражение д% . д& dt ' дх '
в котором плотность и поток энергии определены формулами (11.53) и
(11.54). При помощи (11.106)-(11.108) находим, что
J- {±(,"s l-a!/r=-HiVM8}+i {4-Л>ы<А-} =
"тКж+f}^*- ("-"О*
11.8. Использование асимптотических разложений
387
Это согласуется с (11.94), так как
+ аЧ2 - р2) а2.
Прямая подстановка в уравнения разложения (11.95) приводит к требуемым
результатам, но без общности и глубины вариационного подхода. Оба метода
будут объединены в гл. 14. Рассмотрим сначала приложения развитой выше
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed