Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
теории и уточним изложенные идеи на конкретных задачах.
Глава 12
КАРТИНЫ ВОЛН
Целый ряд наиболее интересных волновых движений связан с волнами на воде.
Некоторые из них, такие, как, например, V-образная система волн от
движущегося корабля или расходящиеся от брошенного в воду камня кольца,
хорошо известны каждому; другие сравнительно легко наблюдать. Мы начнем с
них. Дисперсионное соотношение, единственное, что нам здесь понадобится,
будет принято без объяснений. В дальнейшем нам придется глубже вникнуть в
теорию волн на воде, поскольку она явилась первым и наиболее плодотворным
источником идей теории диспергирующих волн. Тогда мы и выведем
дисперсионное соотношение.
12.1. Дисперсионное соотношение для воли на воде
Вертикальные отклонения р поверхности спокойной воды описываются
элементарными решениями вида (11.1):
•yj - ico t
причем
со2 = (gk th kh) ^ 1 -J- k2 j , A' = j k |. (12.1)
Здесь h - невозмущенная глубина, g - ускорение свободного падения, р -
плотность, Т - поверхностное натяжение. На спокойной воде волны изотропны
и дисперсионные соотношения содержат только модуль к волнового вектора.
Существует несколько интересных предельных случаев, которые при
соответствующих обстоятельствах принято использовать в качестве
аппроксимаций.
Гравитационные волны
В системе единиц CGS g = 981, р = 1 и Т = 74, так что Хт = 2л (ZVpg)1/2 =
1,73 см. Поэтому эффекты поверхностного натяжения становятся пренебрежимо
малыми для волн, длины которых в несколько раз больше этой величины.
Тогда имеем обычную формулу для гравитационных волн
со2 = gk th kh, I > %m. (12.2)
12.1. Дисперсионное соотношение для волн на воде
389
Для таких волн фазовая и групповая скорости соответственно равны
,1/2
с{к) = (Л. th kh С (к)
да>
дк
Го^+жш)-
(12.3)
(12.4)
В этом приближении имеем следующие предельные случаи:
с.
с-
ШГ- "¦
(gh)1/2, kh-
¦0.
(12.5)
(12.6)
Таким образом, при фиксированной глубине h как с, так и С возрастают с
ростом к = 2я/к, причем С < с; в длинноволновом пределе (12.6) С ->¦ с и
дисперсионные эффекты становятся малыми. Конечно, коротковолновое
приближение (12.5) справедливо лишь при условии, что кт к h.
Капиллярные еолны
При к <^кт эффект поверхностного натяжения Может стать доминирующим, и
тогда соотношение (12.1) будет аппроксимироваться выражением
со2 = - /с3 th/ей. Р
В этом случае
с (к) = к th kh
C(ft) = f-c(l +
В предельных ситуациях имеем
11/2
2 kh
3 sh 2kh
Th \ 1/2
I V1/2 7.1/2 p
[kh
(12.7)
(12.8) (12.9)
OO (12.10)
/с.
С.
(т)
F,
(12.11)
Для капиллярных волн с и С убывают с ростом к, причем С > с.
Гл. 12. Картины волн
390
Комбинированные эффекты гравитации и поверхностного натяжения
Когда важны оба эффекта, обычно достаточно рассмотреть относительно
короткие волны с kh 1. При этом
(о2=?& + ~к3, (12.12)
а фазовая и групповая скорости выражаются формулами
4i+v*r-
r 1 l + (37/Pg)fc2 2 6 l + (T/pg)k* ¦
Фазовая скорость имеет минимум при к = кт, где
hn=(-f)iJ\ ^=-=1,73 см; (12.15)
соответствующие значения с и С совпадают и равны ст = 23,2 см/с.
В области X > Хт, часто называемой гравитационной ветвью, С < с, тогда
как в области X < Хт, называемой капиллярной ветвью, С 2> с. Для любого
значения с > ст существуют две допустимые длины волны. Минимум групповой
скорости достигается при X = 2,54 Хт = 4,39 см и составляет С = 0,77 ст =
= 17,9 см/с.
Теория мелкой воды с учетом дисперсии При /c/j-э-О выражение (12.1) можно
разложить в ряд
(02~ ghk* { 1 + (да-у) AW+ . • • } (12.16)
и получить
С ~ te*)1'2 {1 + i. *да+ ... }. (12.17)
Когда дисперсией полностью пренебрегают, уравнения для нелинейной теории
мелкой воды становятся гиперболическими и уподобляются уравнениям газовой
динамики; эта так называемая гидравлическая аналогия используется в
экспериментах. При гидравлическом моделировании дисперсия должна быть
минимальной и h выбирается из условия
(12.13)
(12.14)
12.2. Мгновенный точечный источник
391
или
й= (-Ё^)ш = 0,48 см.
\ ре I
Магнитная гидродинамика
В проводящей жидкости, к которой приложено горизонтальное магнитное поле
и через которую протекают горизонтальные токи, можно ввести третью
вертикальную возвращающую силу. Этот случай был исследован Шерклифом [1],
установившим, что дисперсионное соотношение имеет вид
рсо2 = k th kh (рg -j- к?Т -f- JsBn),
где Вп - магнитное поле, нормальное к гребням волн, и Js - ток вдоль них.
Член JsBn описывает вертикальную компоненту силы Лоренца. Интересно, что
распространение волн зависит от их ориентации относительно поля и
становится анизотропным. Выражения для фазовой и групповой скоростей,
включая различные предельные случаи, можно найти в указанной выше статье.
Мы не будем заниматься здесь этим случаем, хотя соответствующие картины
волн можно изучать развиваемыми ниже методами.
12.2. Дисперсия от мгновенного точечного источника
Волны от точечного источника распространяются изотропно, и различные
значения модуля к волнового вектора, возбужденные в начальный момент,
