Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом можно построить уравнение вида (11.12) с любой желаемой
функцией с (х) и, следовательно, с любой дисперсиоштой функцией; надо
просто положить К (х) равным преобразованию Фурье (11.14) этой фазовой
скорости с (и). В частности, если
с (х) = с0 + с2х2 + . . . + с27Пх2т,
то
К (х) = с06 (х) - с2б" (х) +...+( - 1)т С2тб'2т> {х) и (11.12) сводится к
дифференциальному уравнению
йф йф йЗф . т Й2т+1ф
~dt Гс0 дх -с2 дхз + ••• +( 1) с2т 8xim+l -и.
Если с (у) - функция более общего вида с бесконечным рядом Тейлора по
степеням х, то можно рассматривать соответствующее дифференциальное
уравнение бесконечного порядка, но лучше перейти к уравнению (11.12).
11.1. Линейные диспергирующие волны
354
Определение диспергирующих волн
Теперь мы можем дать более четкое определение диспергирующих линейных
систем как систем, имеющих решения (11.1) и (11.2), которые удовлетворяют
условию (11.5). Имеется некоторое пересечение с гиперболическими
системами (это видно из примера
(11.6)), но обычно такие системы не являются гиперболическими. Как
показывает последний раздел, не следует ограничиваться рассмотрением
только дифференциальных уравнений.
Сразу ясно, что это определение слишком узкое. Даже для линейных
дифференциальных уравнений оно ограничено условием постоянства
коэффициентов. Например, если в уравнении колебаний балки коэффициент у
зависит от х, т. е.
фtt "К У (^) tyxxxx = 6, то решений вида (11.1) не существует. Однако
если у (х) - плавная функция от х, то можно ожидать, что решение будет во
многом похоже на решение уравнения с постоянным коэффициентом у. С этим
случаем можно связать общую задачу о диспергирующих волнах в неоднородной
среде. Уравнение может также иметь факторизованные решения, например
X (их) е~ш, со = W (%),
где X - некоторая осциллирующая функция типа, скажем, функции Бесселя.
Такое решение будет в некотором смысле диспергирующим, но его было бы
трудно включить в общее определение. 11о-видимому, в настоящий момент
придется ограничиться следующей неконструктивной идеей: в каждом случае,
когда осцилляции в пространстве и осцилляции по времени связаны
дисперсионным соотношением, можно ожидать поведения, характерного для
диспергирующих волн.
Аналогичная ситуация имеет место и для нелинейных систем: можно точно
определить некоторый ограниченный класс уравнений, а затем естественным
образом вводить обобщения.
Более содержательный ответ, возможно, дают вариационные формулировки, о
которых пойдет речь ниже. Эти формулировки позволяют развить общую теорию
решений требуемого вида и, видимо, обеспечивают надлежащий общий взгляд
на многие вопросы, включая классификацию. Пока этот вопрос остается
открытым.
11.2. Общее решение в виде интеграла Фурье
Если формулы (11.1) - (11.2) дают элементарное решение линейного
уравнения, то - по крайней мере формально - функция
ф(х, ?)= j F(y) e(tm)'*-iWWdv. (11.15)
11.2. Общее решение в виде интеграла Фурье
355
также будет решением. Подбирая должным образом произвольную функцию F
(х), можно удовлетворить заданным начальным или граничным условиям, если,
конечно, эти условия достаточно разумны для того, чтобы можно было
применять преобразование Фурье. Если имеется п мод с п различными
функциями W (х), то будет п слагаемых вида (11.15) с и произвольными
функциями F (х). В этом случае для полного определения решения
естественно задавать п начальных условий. Примеры (11.6)-(11.8) включают
по две моды, и естественно задавать <р и <р( при t = 0. Как и в этих
примерах, две моды обычно имеют вид со = ±W (х), и в типичной одномерной
задаче соответственно получаем
Если W (х) - нечетная по х функция, как, например, в примере
(11.7), то в (11.16) первый член описывает волны, движущиеся вправо, а
второй член - влево. Если же W (х) - четная функция, как, например, в
примерах (11.6) и (11.8), то волны, движущиеся и вправо, и влево,
содержатся в обоих членах. Накладывая начальные условия, получаем
j Р1{у)е1*х-П?Юг6у.-i- j F2 (x) eiv-x+iw^1 dx (11.16)
с начальными условиями
ф = Фо И, фt = Фг (х) при t = 0.
Ф1 (х) - - i j* W (х) (Fi (х) - F2 (х)} eiKXdx.
Формулы обращения дают
Л (х) + Fa (х) = Ф0(}c)=:-i- J y0(x)e-ivxdx,
ОО
- nE(x){Fi(x) -Fa(x)} = Ф,(х) = -^_ ^ <pj (ж) <?-!**(fa,
откуда находим Fi (х) и F2 (х):
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
356
Поскольку функции фо (х) и (х) вещественны, Ф0 (-х) = = Ф* (х) и Ф] (-х)
= <Df (х), где звездочкой отмечены комплексно сопряженные величины.
Отсюда следует, что для нечетной функции W (х)
а для четной W (х)
Fi(-x) = FS(*h
F2(-x) = Ff(x). (11Л8)
В обоих случаях] решение (11.16) вещественно; вещественные
начальные условия для вещественного уравнения должны приво-
дить к вещественным решениям.
Стандартное решение, по которому легко построить остальные решения, можно
получить, положив
Фо И = 8 И, <Pi (*) = 0.
Тогда Fy (х) = F2 (х) = 1/(4л) и выражение (11.16) сводигся к следующему:
ОО
Ф = С cos кх cos W (х) t dx,. (11.19)
