Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
формулы (2.72)). и потребуется введение ударных волн. Эти ударные волны
будут разрывами системы I, и условия на разрыве выводятся стандартным
образом из соответствующей системы уравнений сохранения. Для > 0 даже при
наличии ударных волн возмущение обычно затухает и основное возмущение
фактически переносится волнами низшего порядка.
Если г] --- 0, то нелипейпая простая волна на "^-характеристике будет
удовлетворять уравнению вида
ф/ + ai (ф) фзс = (10.46)
Ударные волны, входящие в решение этого уравнения, будут удовлетворять
условиям на разрыве, выведенным для упрощенной системы !I и отличающимся
от условий па разрыве для системы I.
Для учета диффузионных эффектов следует стремиться получить уравнение
Фt -г а, (ф) срх = Vi<pxx, (10.47)
соответствующее уравнению (10.37). Можно сопоставить это уравнение с
уравнением Бюргерса для а,- в том же порядке приближения и использовать
результаты, изложенные в гл. 4.
10.4. Структура ударной волны
Ударная волна системы II - назовем ее Sл - будет до некоторой степени
сглаживаться, если ее рассматривать в системе I. Это в точности задача о
структуре ударной волны. Однако теперь мы можем более решительно
высказаться о возникновении разрывов в этой структуре. Ударная волна S
всегда будет связана с одним конкретным семейством "-волн, а каждое
семейство "-волн зажато между двумя семействами с-волн. Однако ударная
волна Sп будет перемещаться быстрее, чем a-волны впереди нее, и мед-
10.5. Примеры
343
ленттее, чем "-волны позади нее. Даже в устойчивой ситуации она может
перегнать ближайшую с-волну впереди или пропустить вперед ближайшую с-
волну позади.
Это нарушит характеристическое свойство с-воли, если решение остается
непрерывным,, но .S'[-разрывы снимают это противоречие. Следовательно,
при возникновении подобной ситуации 5п-про-филь потребует разрывов в
структуре ударной волны. Это будут б'гразрывы, удовлетворяющие ^-условиям
на разрыве, и мы можем рассматривать полный профиль как комбинированную
^-Зц-волну.
Пусть скорость ударной волпьт Л'п, ассоциированной с аг семейством, равна
[/,, и пусть верхние индексы (1) и (2) обозначают теперь значения впереди
и позади этой ударной волны соответственно; тогда критерий непрерывности
структуры ударной волны имеет вид
c\l\<Ui<c"K (10.48)
Если он не выполняется, то профиль имеет разрыв, и это возможно даже в
том случае, когда состояния по обеим сторонам устойчивы. Если мы
рассмотрим нелинейный вариант рис. 10.1, то основное возмущение останется
непрерывным при условии, что его скорость достаточно отличается от
скоростей воли высшего порядка по обеим сторонам.
В нелинейном случае каждая из этих скоростей может меняться в
определенном интервале, так что основная волна может комбинироваться с "-
волнами впереди или позади. Когда это происходит, экспоненциальное
затухание соответствующих с-волн прекращается и, поскольку "-волны
опрокидываются, в общую структуру вклинивается ударная волна .S1,.
Критерий ограничений на скорости (10.48) дает очень простой метод
предсказания, позволяющий избежать гораздо более сложного анализа
интегральных кривых уравнений, описывающих структуру ударной волны. Его
полезность будет показана на следующих примерах.
10.5. Примеры
Паводковые волны
Этот пример был подробно изучен в гл. 3. Отметим, что в принятых здесь
обозначениях
ci = и -| |/ g'h, "2 = v - |/ g'h, а = Зг/2.
Согласно условиям (10.42), однородное течение h = h0, v = v0 устойчиво
(как отмечено в § 3.2) при условии, что
3"о
Гл. 10. Иерархия волн
344
где нижний предел фактически не является ограничением. Согласно критерию
(10.48), ударная волна Л'ц обладает непрерывной структурой при условии,
что
н<2> -Уg'ha> <С7<г/1*g'h(b.
Эти условия на разрыве для Su показывают, что U > г2), так что
ограничение снизу всегда выполняется. Поэтому критерий возникновения
разрывов в ^ц-структуре имеет вид
U> и(1) +Уg'ha\
Это в точности совпадает с результатом (3.52), полученным при помощи
подробного анализа.
Магнитная газовая динамика
Уравнения волн в магнитной газовой динамике приведены в примерах 10 и 10'
§ 5.2. Первая система -это система I, и мы имеем
ci - (еоН')~1/2> с2-=и + я, с3 = и,
ci = u - я, с5 =-(бор,)-1/2.
Вторая система - это система II, и
I / 2 , В2 \1/2 "1 = и+ + -) . а2 = а3 = и,
I 2 . В2 \1/2
С1 л -- и - I & I .
V рр I
Реальные волны, распространяющиеся относительно жидкости, имеют
чередующиеся скорости, как и требуется условиями (10.42), и устойчивы.
Слияние скоростей о2, а3 с с3 на траектории частицы, как легко
проверяется, соответствует устойчивой ситуации.
Ударная волна Su из ягсемейства, распространяющаяся со скоростью U, имеет
непрерывную структуру при условии, что
Щ2> + я<2> <и< (бор,)-1/2.
Скорость света практически бесконечна, так что разрыв появляется на
задней части профиля, когда
U < н<2> + а<2>.
Это простой вывод результата, полученного Маршаллом [1] с помощью
подробного анализа структуры ударной волны. Дальнейшее обсуждение этого
