Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
скольку исключает также случай W = сх + Ъ. Причина такого
ограничения будет объяснена ниже, но для одномерного случая
(11.4)
W" (х) Ф 0.
\
11.1. Дисперсионные соотношения
351
можно заранее сказать, что групповая скорость W' (я) важнее, чем скорость
распространения, и условие W" {я) ^ 0 исключает случаи, когда она
постоянна.
Непосредственно видно, что в случае W = ая + Ь, исключенном нами из
рассмотрения, дисперсия фактически отсутствует. Элементарное решение при
этом равно
g-at)
и при помощи преобразования Фурье получаем общее решение e~Mf (х - at).
Исходный волновой профиль / (ж) при распространении искажается, но
дисперсии нет. Легко показать, что уравнение, описывающее соответствующий
процесс, является гиперболическим.
Определитель, входящий в условие (11.5), может обращаться в нуль для
некоторых частных значений волнового вектора я, например при я -> 0 или я
-> оо, и окрестности таких точек должны быть исследованы отдельно из-за
появления особенностей в общих формулах.
Примеры
Приведем несколько типичных примером, которые будут использоваться в
качестве иллюстрации построения общей теории:
ф<( - ос2у2ф -'гР2ф - 0, со = + а2я2 -j- (З2; (11.6)
(fti - а2у2Ф = ?2У2Ч*" и - ± ; (И-7)
у 1 +
Фчt -Г 72Флл-л.т 1 - О, " = ± ук2; (11.8)
Фтафхй Рфа-хл-= *7, 10 -ах - (3x:i. (! 1 .У)
Первое из этих уравнений гиперболическое, но тем не менее имеет
диспергирующие решения, удовлетворяющие условию (11.5). Оно описывает
колебания с дополнительной возвращающей силой, пропорциональной
перемещению ср; это также уравпение Клейна- Гордона квантовой теории
поля. Другие уравнения негиперболические, что более типично для
диспергирующих волн. Уравпение
(11.7) встречается в теории упругости при описании продольных волн в
стержнях, в теории волн на воде в приближении Буссинеска для длинных волн
и при описании волн в плазме. Уравнепие
(11.8) описывает поперечные колебания балки. Уравнение (11.9) также
применяется в теории длинных волн на воде и представляет собой
линеаризованную форму уравнения Кортевега - де Фриза. Приближения для
волн на воде будут подробно исследованы ниже, остальные уравнения
считаются в какой-то степени известными.
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
352
Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением
Из приведенных примеров видно, что и в общем случае уравнения с
вещественными коэффициентами приведут к вещественным дисперсионным
соотношениям лишь тогда, когда они содержат либо только четные, либо
только нечетные производные. Каждое дифференцирование вносит множитель г,
так что у четных производных появляются вещественные коэффициенты, а у
нечетных - чисто мнимые коэффициенты, и они не должны смешиваться, если
мы хотим, чтобы окончательное выражение было вещественным. Уравнение
Шредингера
содержащее четные и нечетную производные, приводит к вещественному
дисперсионному соотношению
но включает комплексный коэффициент.
Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением можно
исследовать гораздо подробнее. Линейное уравнение с постоянными
коэффициентами можно записать в виде
где Р - некоторый многочлен. При подстановке в это уравнение
элементарного решения (11.1) каждое дифференцирование dldi приведет к
множителю -но, а каждое дифференцирование d/dxj - к множителю iy.j.
Поэтому дисперсионное соотношение имеет вид
и мы находим прямую связь между уравнением и дисперсионным соотношением,
производя замену
По соотношению (11.11) можно восстановить вид уравнения. Это служит
основанием для сделанного выше замечания, что можно забыть об уравнении,
если известно дисперсионное соотношение.
Видно, однако, что уравнения такого типа могут привести только к
полиномиальным дисперсионным соотношениям. Возникает естественный вопрос:
операторы какого вида дают более общие дисперсионные соотношения? Одна из
возможностей состоит в том, что осциллирующее волновое движение,
описываемое уравнением (11.1), происходит только по части
пространственных координат, в то время как по остальным координатам
поведе-
(11.10)
8_ д д д dt ' дх^ ' дх% ' дхз
Р (-г(о,гхх,гх2,гх3) = 0.
(11.11)
11.1. Дисперсионные соотношения
353
еие оказывается более сложным. Типичным примером является теория волн на
глубокой воде, в которой, как будет показано ниже, волны распространяются
горизонтально, а зависимость от вертикальной координаты не являются
осциллирующей. Вторую возможность, для которой волновое поведение имеет
место по всем переменным, можно продемонстрировать на примере одномерного
пнтегродифференциального уравнения
оо
^-(х, t)+ j K(x-l)^a, t)dl = 0, (11.12)
где ядро К (х) - заданная функция. Это уравнение имеет элементарные
решения <р = Ае(tm)х~ш при условии, что
- теЫх -\- j К (х-ixeiy^ d% = 0.
Это условие можно переписать в виде
* = -?-= j K{l)e-iyldl. (11.13)
Правая часть представляет собой преобразование Фурье заданного ядра К
(х), и, согласно формуле обращения, имеем
К(х) = -^- j c(x)e(tm)*dx. (11.14)
