Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
меридиональной плоскостью, проходящей через
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
326
траекторию полета. В области (х - Br)/Br 1 это выражение можно
аппроксимировать так же, как и выше, и возмущения снова даются формулами
(9.67) - (9.68), в которых следует положить
Это интересная иллюстрация понятия "эквивалентного тела" для
асимметричных распределений. Следует отметить, что приближения (9.67) -
(9.68) справедливы при |/Вг<^1 и их достаточно для определения ударной
волны. Однако распределение давления за основной ./V-волной дает важный
вклад в общую подъемную силу, переданную на Землю. Полное выражение имеет
вид (9.81), и если потребуется подробная формула для учета подъемной
силы, то следует использовать нелинейную модификацию формулы (9.81). Это
иногда вызывало недоразумения в литературе, где указывалось, что
распределение давления, полученное из равенств (9.68), при интегрировании
по поверхности Земли не дает полной подъемной силы \ L (х) dx. Следует
иметь в виду, что выражение (9.68)
применимо только в области основной TV-волны, а формула, выведенная из
(9.81), суммирует все возмущения и дает полную подъемную силу.
Обобщения на тела, движущиеся с ускорением, и на неоднородные атмосферы
(последнее всегда важно в реальной ситуации) можно до некоторой степени
провести аналитически. Здесь теория существенно опирается на
геометрическую акустику (см. Фридман, Кейн и Синьялла [1] и цитируемую
там литературу). Дальнейшие исследования и результаты сравнения с данными
испытаний в аэродинамической трубе и с данными наблюдений описаны в серии
обзорных статей, опубликованных в Journal of the Acoustical Society of
America за 1965 г. Подробные сравнения были проведены различными
правительственными лабораториями и авиационными компаниями. (Популярный
отчет, доступный для неспециалиста и содержащий ряд интересных
сопоставлений теории с практикой, представлен в Boeing Document D6A10598-
1.) Выводы, по-видимому, состоят в том, что теория дает хорошие
результаты и ценный подход к чрезвычайно сложным практическим задачам.
I
(9.82)
о
Глава 10
ИЕРАРХИЯ ВОЛН
"Свойства семейства гиперболических волн одинаковой природы изучены
теперь довольно подробно, включая различные эффекты геометрии, диффузии и
затухания. Для завершения этой первой части обсудим ситуацию, когда в
одной и той же задаче получаются волны различных порядков. Типичные
примеры указывались в гл. 3, где были сделаны некоторые предварительные
замечания. Например, потоку транспорта на одном из уровней описа-' ния
соответствует система уравнений
Pt + (P^)* = 0,
T(ut + yy*)+-^-P* + y -Е(Р) = 0. ^10'^
Эта система имеет два семейства характеристик с характеристическими
скоростями
н^-УЧ/т, v-V^v/t. (10.2)
Как следствие волны с этими скоростями должны сыграть свою важную роль.
Однако упрощенные уравнения
Pt + (Р^)* = 0, v - V (р), (10.3)
которые считаются хорошим приближением при достаточно малых значениях v и
т, имеют одно семейство характеристик, причем характеристическая скорость
не совпадает ни с одной из двух скоростей (10.2), а составляет
V (Р) + Р Г (р). (10.4)
Для того чтобы не было противоречия между двумя уровнями описания, волны
со скоростью (10.4) также должны играть важную роль в
решениях системы (10.1), хотя они больше и не свя-
заны с характеристиками. Наша цель здесь состоит в том, чтобы глубже
выяснить роль "волн высшего порядка" (10.2) и "волн низшего порядка"
(10.4) и посмотреть, как каждое из этих семейств волн модифицируется
наличием другого семейства.
Рассмотрим сначала линеаризованные варианты систем типа
(10.1), поскольку в зтом случае можно найти (при помощи преобразования
Фурье) общие решения типичных задач и затем использовать их для выяснения
наиболее характерных черт таких систем. Подобные аналитические решения
полных нелинейных систем
Гл. 10. Иерархия волн
328
редко удается наити, но линейные результаты можно использовать для оценки
соответствующего поведения различных нелинейных волн, чтобы на этой
основе ввести упрощающие предположения для их приближенного описания.
Когда системы типа (10.1) линеаризованы, то удобнее работать с
эквивалентным уравнением второго порядка. Оно имеет общий вид
^ d+c'i) (ir+c*i) (4r+ai)ф=:()' (10-5>
где коэффициенты постоянны и для определенности принято, что с, > с2. С
точностью до обозначений это совпадает с уравнением (3.4) для потока
транспорта; щ и с2 являются линеаризованными формами выражений (10.2), а
именно значениями в невозмущенном потоке, и а - линеаризованной формой
(10.4).
Нелинейная система (3.37) для паводковых волн аналогична системе (10.1).
Характеристические скорости равны v±Vg'h, но приведенная система (3.38)
указывает также на наличие волн низшего порядка со скоростью Зк/2.
Линеаризованное уравнение (3.41) имеет тот же вид, что и уравнение
(10.5). Линейное уравнение (3.74), описывающее химические процессы
обмена, является точным и соответствует частному виду уравнения (10.5),
