Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенный простой подход к асимптотическому поведению является одним из
выдающихся результатов данной теории. Можно, действуя так же, определить
положение ударной волны. Если на фронте ударной волны ? - ?0 = G (г), то
(9.59) дает разложения по степеням G (г) для параметров течения на
ударной волне. Условие на разрыве (9.28) в данном случае имеет вид
dG 1 и-{-а - "о
dr 2 а$ *
и при помощи (9.60) - (9.62) находим
4п=4-т- + °(?2);
dr 2 rlnr \ л
следовательно,
G (г) со In1'2 г. (9.63)
Это согласуется с выражением (9.31) для сферических волн.
Хотя этот последний метод является, возможно, и наиболее простым и
позволяет легко находить поправки высших порядков, он не может
предсказать зависимость коэффициентов в уравнении ударной волны и
интенсивности ударной волны от исходного источника.
9.3. Звуковые удары
Главной задачей теории звукового удара является определение ударных волн,
порождаемых осесимметричным телом в стационарном сверхзвуковом полете.
Исходя из решения этой основной задачи, приходится тем или иным способом
учитывать влияние формы тела, ускорения, искривления траектории полета и
неоднородности атмосферы.
При решении основной задачи удобно работать в системе отсчета, в которой
течение стационарно. Линеаризованная теория была подробно рассмотрена в §
7.5, так что теперь можно ввести нелинейности, пользуясь методом,
развитым выше для нестационарных волн. Соответствующая задача для
плоского течения, рассмотренная в § 6.17, также дает вклад в этот круг
идей.
Пусть скорость U основного течения параллельна оси ж, и пуеть U (1 + и) и
Uv - компоненты возмущенной скорости
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
320
в ж- и г-направлении соответственно. Тогда
х-Вг
S" (Т]) dt]
)/ (х-т])2 - В2г2
S" (q) tft)
2ltr J ^x - ^2- ?2r2 '
(9.64)
(9.65)
где В = У АР - 1, a S (х) - площадь поперечного сечения на расстоянии х
от носика тела. Возмущение сосредоточено внутри конуса Маха х - Вг = 0,
образующие которого составляют угол Маха
|л0 = arc sin
м
(9.66)
с направлением течения. Величина х - Вг является линейной
характеристической переменной и соответствует выражению
Рис. 9.2. Семейство линейных характеристик при сверхзвуковом обтекании
осесимметричного тела.
t - г/с0 при рассмотрении цилиндрических волн. На (х, ^-диаграмме
линейные характеристики образуют семейство параллельных прямых,
составляющих угол р0 с осью х, как показано на рис. 9.2. В области (х -
Br)lBr 1 можно использовать приближения (7.45) - (7.47). Эта область
включает фронт ударной волны и основную часть удаленных областей, и
именно в ней нелинейные поправки играют решающую роль. Нелинейные эффекты
модифицируют характеристики и вводят ударные волны, как указано на рис.
9.3.
Следуя нашему методу введения нелинейности, заменим х - Вг на | (ж, г),
где | следует подобрать таким образом, чтобы кривые | = const были
достаточно близки к точным характеристикам. Модифицированные выражения
для параметров течения
9.3. Звуковые удары
321
имеют вид
F (|) BF (I)
U= 7==, V= -7-
У2Вг' Y2Br'
(9.67)
где
S
(9.69)
Типичная кривая F была приведена на рис. 7.3. Как указывает соотношение
(7.48), F -0 при | 0 и линейная теория
Piic. 9.3. Семейство нелинейных характеристик с ударными волнами при
сверхзвуковом обтекании осесимметричного тела.
с | = х - Вг не предсказывает ударной волны. Ясно, что именно здесь
нелинейная модификация сыграет свою решающую роль.
Точные уравнения для безвихревого осесимметричного течения такие же, как
и уравнения для плоского течения (6.158) - (6.159), только у заменено на
г и в уравнение (6.158) добавлен член -a2v/r. Поскольку производные
высшего порядка остались без изменения, характеристические направления
все еще соответствуют углам 0 ± р, где 0 определяет направление течения,
ар - точный угол Маха, причем р = arc sin alq. В соответствии с этим на
кривой | = const
Так же как и в задаче для нестационарных волн, достаточно использовать
приближение первого порядка теории возмущений, и мы положим
г
dx
IF
ctg(p+ 0).
дх
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
322
С точностью того же порядка
6 - |т - Ро^ 77- (~gpa~~и) secГо"
откуда
Подставляя выражения (9.67) и (9.68) для параметров течения, получаем
Нелинейная модификация решения в области h/Br 1 дается соотношениями
(9.67), (9.68) и (9.70).
Если F' (|) >0, то характеристики накладываются и возникает ударная
волна. Как было указано выше, для тела конечных размеров
так что в общем случае существуют две такие области и две ударные волны.
Аналогом равенства (9.28) является утверждение, что наклон ударной волны
равен среднему арифметическому наклонов характеристик на обеих сторонах,
а ударная волна строится совершенно так же. Если ударная волна
описывается уравнением
Si
Для первой ударной волны, перед которой находится невозмущенное течение,
F (Б2) = 0 и |2 можно исключить из рассмотрения.
дх
дг
р~-(у+1)М4 F(|) (2В)3/2 г"2 *
так что
x = Br - kF{l) г*/* +Б,
